高考数学专题讲座(四)
8页1、2008年高考数学专题讲座(四)化归与转化谢金怀(浙江省上虞市上虞中学 312300)解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题;将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。转化有等价转化和非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才
2、保证转化后的结果仍为原问题的结果。在不得已的情况下,进行非等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证,它能带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。我们结合几个例子来谈谈化归与转化的思想方法在解题中的重要作用。例1设集合,则集合中元素的个数为( ) A1B2C3D4 (2)设A、B、I均为非空集合,且满足,则下列各式中错误的是( ) 解析:(1)将集合中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言:圆与抛物线交点的个数。因此在同一坐标系内作出圆和抛物线的图象,观察可得选B;(2)将题设条件转化为图形语言,即构造图2,由图形逐一验证,得B项不正确,故应选B。点评:对于许多集合问题,通过转化,将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题,将抽象的问题转化为具体的直观的问题,便于将问题解决。例2设若方程中的cosx有两个不同的符号,求实数k的取值范围。解析:令cosx=t,则由得方程中的cosx有两个不同的符号,等价于关于t的方程(1)在有异号两根,设,则原问题又等价于, 由此可得点评:在此例中,原表述让人有曲折难懂之感,因此采取了转化问题表述的策略,将问题作等价形式的
3、转化,从而使问题思路明朗化。例3若不等式对一切均成立,试求实数的取值范围。解析: 令,则要使它对均有,只要有 或。点评:在有几个变量的问题中,常常有一个变元处于主要地位,我们称之为主元,由于思维定势的影响,在解决这类问题时,我们总是紧紧抓住主元不放,这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下,此路往往不通,这时若能变更主元,转移变元在问题中的地位,就能使问题迎刃而解。本题中,若视x为主元来处理,既繁且易出错,实行主元的转化,使问题变成关于p的一次不等式,使问题实现了从高维向低维转化,解题简单易行。例4(1)已知,且,求证:; 证明:设,其中 则 原不等式得证。点评:三角换元法:把代数形式转化为三角形式,利用三角函数的性质解决。(2)若,则( ) AB CD 解析:若直接比较a与b的大小比较困难,若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了。 因为 又因为 所以,所以 又因为,所以故选(A)。点评:体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值(域)、最值、比较大小等问题。例5某厂2001年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,元月份投入资
4、金建设恰好与元月的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同,问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是 ( )A. mN B. mN C.m=N D.无法确定解析:每月的利润组成一个等差数列an,且公差d0,每月的投资额组成一个等比数列bn,且公比q1。,且,比较与的大小。若直接求和,很难比较出其大小,但注意到等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式bn=a1qn-1是关于n的指数函数,其图象是指数函数上的一些点列。 在同一坐标系中画出图象,直观地可以看出aibi 则,即mN。 点评:数列是一种特殊的函数,动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数。把一个原本是求和的问题,退化到各项的逐一比较大小,而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清新。例6(1)如果,三棱锥PABC中,已知PABC,PA
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