高考数学专题讲座(四)

2008年高考数学专题讲座（四）化归与转化谢金怀（浙江省上虞市上虞中学 312300）解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。转化有等价转化和非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。在不得已的情况下，进行非等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证,它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们结合几个例子来谈谈化归与转化的思想方法在解题中的重要作用。例1设集合，则集合中元素的个数为（ ） A1B2C3D4 （2）设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ） 解析：（1）将集合中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言：圆与抛物线交点的个数。因此在同一坐标系内作出圆和抛物线的图象，观察可得选B；（2）将题设条件转化为图形语言，即构造图2，由图形逐一验证，得B项不正确，故应选B。点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。例2设若方程中的cosx有两个不同的符号,求实数k的取值范围。解析：令cosx=t,则由得方程中的cosx有两个不同的符号，等价于关于t的方程(1)在有异号两根,设,则原问题又等价于, 由此可得点评：在此例中，原表述让人有曲折难懂之感，因此采取了转化问题表述的策略，将问题作等价形式的转化，从而使问题思路明朗化。例3若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。解析： 令，则要使它对均有，只要有 或。点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。例4（1）已知，且，求证：； 证明：设，其中 则 原不等式得证。点评：三角换元法：把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。（2）若，则（ ） AB CD 解析：若直接比较a与b的大小比较困难，若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了。 因为 又因为 所以，所以 又因为，所以故选（A）。点评：体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。例5某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是 （ ）A. m>N B. m<N C.m=N D.无法确定解析：每月的利润组成一个等差数列an，且公差d0，每月的投资额组成一个等比数列bn，且公比q1。，且，比较与的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式bn=a1qn-1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出aibi 则，即mN。 点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。例6（1）如果，三棱锥PABC中，已知PABC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h求证三棱锥PABC的体积解析：如视P为顶点，ABC为底面，则无论是SABC以及高h都不好求如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境如图，连结EB，EC，由PABC，PAED，EDBC=E，可得PA面ECD这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VPABC=VPECD+VAECD=SECDAE+SECDPE=SECD PA=BC·ED·PA= 评注：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）分析：由三垂线定理容易证明SCAB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SCDM。证明：由已知可得：SN底面ABC，ABCD，CD是斜线SC在底面AB的射影， ABSC。 ABSC、ABCD AB平面SDNC MDC就是截面MAB与底面所成的二面角由已知得MDCNSC又 DCMSCN DCMSCM DMCSNCRt 即 SCDM所以SC截面MAB。点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。例7在的展开式中x的系数为( )(A)160 (B)240 (C)360 (D)800解析：本题要求展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用上述两种思路进行转化：思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则展开式是一个关于x的10次多项式， =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选 择常数项2相乘得到，故为·(3x)··24=5×3×16x=240x，所以应选(B)思路2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，这条思路下又有四种不同的化归与转化方法如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)转化，可以发现只有(3x+2)5中会有x项，即(3x)·24=240x，故选(B)；如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x进行转化，则只 (x2+2) 4·3x中含有x一次项，即·3x·C44·24=240x；如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化，就只有·(x2+3x)·24中会有x项，即240x；如选择x2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，=×展开式中的一次项x只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到，即为x·25+24x15=160x+80x=240x，故选(B) 评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。例8若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程xfg（x）0有实数解，则gf（x）不可能是（）（A）x2x （B） x2x （C）x2 （D）x2解析：本题直接解不容易，不妨令f（x）x，则fg（x）g（x），gf（x）g（x），xfg（x）0有实数解即xg（x）0有实数解。这样很明显得出结论，B使xg（x）0没有实数解，选B这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f（xy）f（x）f（y）m，对数函数型f（xy）f（x）f（y），幂函数型f（xy）f（x）f（y）。点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。例9在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有个。解析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5。用间接法。所有四位数有×300个，末位为0时有60个，末位为5时有×48个，满足题意的数共有3006048192个。AB点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。例10某区有7条南北向街道，5条东西向街道（如图）（1）图中共有多少个矩形？（2）从A点走向B点最短的走法有多少种？ 解析：该题也可创设排列组合这一解题情境即（1）7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成的矩形有种（2）每条东西向的街道被分为6段，每条南北向的街道被分为4段，从A到B的最短走法一定包括10段，6段东西，4段南北，每种走法即从10段中选出6段为走东西方向的，共有种点评：这个比较的抽象、新颖的题目，我们通过化归，运用已知的排列组合知识解决的巧妙而轻松。以后解题中碰到新颖或难度较大的题目，一定要巧创一定的解题情境，化归为用已知知识可以解决的问题。例11把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。x·ODCBA解析：如图，设矩形的一边长为x,则半圆的周长为矩形的另一边长为=设零件的面积为S，则S=a0 当时，S有最大值，这时AB=。当矩形的