人教A版高中数学(必修第二册)同步讲义第28讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(教师版)
43页1、更多资料添加微信号:DEM2008 淘宝搜索店铺:优尖升教育 网址:第05讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课程标准学习目标了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系,并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。1. 本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的表面积和体积教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开图,得出它们的表面积公式,然后根据以前学习过的圆柱、圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式,再结合棱柱、棱锥、校台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式最后给出了球的表面积公式,并由球的表面积公式推导出了球的体积公式2.本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用,难点是推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算;3.本节内容所涉及的主要核心素养有:数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等;知识点01:圆柱、圆锥、圆台的表面积(1)圆柱的表面积圆柱的侧面积:圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长,另一
2、边长为圆柱的母线长,故圆柱的侧面积为.圆柱的表面积:.【即学即练1】(2024全国高三专题练习)如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞,则挖洞后几何体的表面积是 (取3.14)【答案】102.28【详解】正方体的表面积为,圆柱的侧面积为,则挖洞后几何体的表面积为故答案为:102.28.(2)圆锥的表面积圆锥的侧面积:圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长,半径为圆锥的母线长,故圆锥的侧面积为圆锥的表面积:【即学即练2】(2024上上海长宁高二上海市民办新虹桥中学校考期末)已知中,将绕所在的直线旋转一周,则所得旋转体的表面积是 【答案】【详解】因为,所以,所以旋转体是底面半径为,高为,母线长为的圆锥,所以表面积为,故答案为:.(3)圆台的表面积圆台的侧面积:圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为圆台的表面积:【即学即练3】(2024上河北张家口高三统考期末)已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线与下底
3、面所成的角为,则该圆台的表面积为()ABCD【答案】C【详解】由题意,得上底面面积为,下底面面积为,由图形可得,母线与下底面所成的角为,故,故圆台的母线长为2,所以侧面积为,所以该圆台的表面积为故选:C知识点02:圆柱、圆锥、圆台的体积(1)圆柱的体积:(2)圆锥的体积:(3)圆台的体积:【即学即练4】(2024全国模拟预测)已知底面半径为4,高为8的圆锥,用一个平行于底面的平面去截该圆锥得到高相等的两个几何体,则截得圆台的体积为 【答案】/【详解】由题意可知,圆台的上底面恰好是过圆锥的高的中点的截面,故圆台的上底面半径为,下底面半径为,高为,则圆台的体积为,故答案为:知识点03:球的表面积和体积(1)球的表面积:(2)球的体积:【即学即练5】(2024上上海高二统考期末)若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4,则球的体积为 .【答案】/【详解】依题意,球的半径,所以球的体积.故答案为:题型01圆柱的表面积与体积【典例1】(2024上全国高三期末)某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形,在该圆锥中内接一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为()ABCD【答案】C【详解】由题意作
4、图如下:由题设可知该圆锥的高设在该圆锥中内接一个高为的圆柱,该圆柱的底面半径为,由,则,即,所以,故该圆柱的侧面积,当时,侧面积取得最大值故选:C.【典例2】(2024全国高三专题练习)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工,该工件底面半径为15cm,高为10cm,加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔若要求工件加工后的表面积最大,则r的值应设计为 【答案】 5cm【详解】大圆柱的表面积为,小圆柱的侧面积为,上、下底面积之和为,所以加工后物件的表面积为,所以当(cm)时,表面积最大故答案为:5cm.【典例3】(2024全国高一假期作业)如图,已知圆锥的底面半径,高,过上一点作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱.(1)若圆柱的底面半径,求剩余部分体积;(2)试求圆柱侧面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】(1)因为圆锥的底面半径,高.所以圆锥的母线长、圆锥体积.设圆柱的高,则,所以,圆柱体积,剩余部分体积为,(2)方法一:作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,其中,设,设圆柱底面半径为,则,即设圆柱的侧面积为当时,有最大值为,方法二:作出圆锥、圆柱的
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