人教A版高中数学（必修第二册）同步讲义第28讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：第05讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课程标准学习目标了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。1. 本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的表面积和体积教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，得出它们的表面积公式，然后根据以前学习过的圆柱、圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式，再结合棱柱、棱锥、校台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式最后给出了球的表面积公式，并由球的表面积公式推导出了球的体积公式2.本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用，难点是推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算；3.本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等；知识点01：圆柱、圆锥、圆台的表面积（1）圆柱的表面积圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.圆柱的表面积：.【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 （取3.14）【答案】102.28【详解】正方体的表面积为，圆柱的侧面积为，则挖洞后几何体的表面积为故答案为：102.28.（2）圆锥的表面积圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为圆锥的表面积：【即学即练2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知中，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 【答案】【详解】因为，所以，所以旋转体是底面半径为，高为，母线长为的圆锥，所以表面积为，故答案为：.（3）圆台的表面积圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为圆台的表面积：【即学即练3】（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（    ）ABCD【答案】C【详解】由题意，得上底面面积为，下底面面积为，由图形可得，母线与下底面所成的角为，故，故圆台的母线长为2，所以侧面积为，所以该圆台的表面积为故选：C知识点02：圆柱、圆锥、圆台的体积（1）圆柱的体积：（2）圆锥的体积：（3）圆台的体积：【即学即练4】（2024·全国·模拟预测）已知底面半径为4，高为8的圆锥，用一个平行于底面的平面去截该圆锥得到高相等的两个几何体，则截得圆台的体积为 【答案】/【详解】由题意可知，圆台的上底面恰好是过圆锥的高的中点的截面，故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，  则圆台的体积为，故答案为：知识点03：球的表面积和体积（1）球的表面积：（2）球的体积:【即学即练5】（2024上·上海·高二统考期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 .【答案】/【详解】依题意，球的半径，所以球的体积.故答案为：题型01圆柱的表面积与体积【典例1】（2024上·全国·高三期末）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ）ABCD【答案】C【详解】由题意作图如下：由题设可知该圆锥的高设在该圆锥中内接一个高为的圆柱，该圆柱的底面半径为，由，则，即，所以，故该圆柱的侧面积，当时，侧面积取得最大值故选：C.【典例2】（2024·全国·高三专题练习）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm，高为10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为 【答案】 5cm【详解】大圆柱的表面积为，小圆柱的侧面积为，上、下底面积之和为，所以加工后物件的表面积为，所以当(cm)时，表面积最大故答案为：5cm.【典例3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.  (1)若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；(2)试求圆柱侧面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为圆锥的底面半径，高.所以圆锥的母线长、圆锥体积.设圆柱的高，则，所以，圆柱体积，剩余部分体积为，（2）方法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，  其中，设，设圆柱底面半径为，则，即设圆柱的侧面积为当时，有最大值为，方法二：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中，设圆柱底面半径为，则，即设圆柱的侧面积为当时，有最大值为.【变式1】（多选）（2024上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（   ）ABCD【答案】CD【详解】当圆柱底面半径为，高为时，表面积；当圆柱底面半径为，高为时，表面积.故选：CD【变式2】（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，  (1)求该圆柱的体积和表面积(2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积【答案】(1)体积为，表面积为；(2)【详解】（1）圆柱的底面半径，母线长，即高，体积，表面积.（2）由题意，圆锥母线，所得圆锥的侧面积为.【变式3】（2024·全国·高一假期作业）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为  (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）【答案】(1)(2)元【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，则，解得，则，所以“笼具”的体积（2）圆柱的侧面积，圆柱的底面积，圆锥的侧面积为，所以“笼具”的表面积为，所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元题型02 圆锥的表面积与体积【典例1】（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（    ）ABCD【答案】A【详解】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积.表面积， 故.故选：A.  【典例2】（2024上·山东潍坊·高三统考期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（    ）ABCD【答案】C【详解】由圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，可得圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为r，则，解之得，则圆锥的高则该圆锥的体积为故选：C【典例3】（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点S滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为cm，则该圆锥的侧面积为 （交通锥筒的厚度忽略不计） 【答案】【详解】解法一：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，周长为因为圆锥的底面半径为，所以该圆锥的底面周长为，故，解得，所以该圆锥的侧面积为解法二：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，面积为因为圆锥的底面半径为，所以该圆锥的侧面积为，故，解得，所以该圆锥的侧面积为故答案为：.【变式1】（2024上·四川南充·高二统考期末）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（    ）ABCD【答案】B【分析】根据圆锥侧面积公式即可.【详解】设该圆锥的侧面展开图面积为,底面半径为，母线长为，则，故选：B.【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，圆锥SO的底面圆半径，侧面展开图扇形SAB的面积为，则此圆锥的体积为（    ）  ABCD【答案】A【详解】设圆锥的母线长为l，则圆锥的侧面积，所以，所以圆锥的高，故圆锥的体积.故选：A.【变式3】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美英佛兰德现代艺术中心的底面直径为，侧面积为，则该建筑的高为（    ）  ABCD【答案】C【详解】设该建筑的母线长为，高为，则由其侧面积为，可得，解得，所以故选：C题型03 圆台的表面积与体积 【典例1】（2024·云南昭通·统考模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（    ）ABCD【答案】C【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，利用弧长公式可得，解得又，解得；又圆台的母线长为，所以圆台的侧面积，故选：C.【典例2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）九章算术中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积为（    ）ABCD【答案】D【详解】由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示：则圆亭的高，上底面半径，下底面半径，母线5，所以圆台的表面积.故选：D【典例3】（多选）（2024·全国·高一假期作业）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，且，则（    ）  A该圆台的高为1cmB该圆台轴截面面积为C该圆台的侧面积为D该圆台的体积为【答案】BCD【详解】  如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的侧面积为，故C正确；圆台的体积为