一元二次方程知识点及其应用7页
7页1、一、 相关知识点1理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式;2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 (1)明确只有当二次项系数时,整式方程才是一元二次方程。 (2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). (3)熟练整理方程的过程3 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 列出实际问题的一元二次方程二解法1明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解;2 根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程;3体会不同解法的相互的联系;4值得注意的几个问题:(1)开平方法:对于形如或的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.形如的方程的解法:当时,;当时,;当时,方程无实数根。(2)配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程,再运用开平方法求解。配方法的一般步骤:移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;“系
2、数化1”:根据等式的性质把二次项的系数化为1;配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为的形式;求解:若时,方程的解为,若时,方程无实数解。(3)公式法:一元二次方程的根当时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;当时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为;当时,方程无实数根.公式法的一般步骤:把一元二次方程化为一般式;确定的值;代入中计算其值,判断方程是否有实数根;若代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。(因为这样可以减少计算量。另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法:因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即:若,则;因式分解法的一般步骤:若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零;把方程的左边分解因式;令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。(5)选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应注意二次根式的化简问题。方程若含有未知数的因式
3、,选用因式分解较简便,若整理为一般式再解就较为麻烦。(6)解含有字母系数的方程(1)含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型;(2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。三、根的判别式1了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。(1)=(2)根的判别式定理及其逆定理:对于一元二次方程()当方程有实数根;(当方程有两个不相等的实数根;当方程有两个相等的实数根;)当方程无实数根; 从左到右为根的判别式定理;从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型(1)利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情况(2)已知方程中根的情况,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围(3)应用判别式,证明一元二次方程根的情况先计算出判别式(关键步骤);用配方法将判别式恒等变形;判断判别式的符号;总结出结论.(4)分类讨论思想的应用:如果方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那一定要对方程进行分类讨论,如果二次系数为0,方
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