天津市武清区大良中学高二数学排列组合的解题模式学案
2页1、天津市武清区大良中学高二数学排列组合的解题模式学案 解决排列、组合问题,关键要搞清楚是否有序与是否重复等问题。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制(特殊元素、特殊位置),因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法(模式化)对学好这部分知识很重要。一. 特殊元素(位置)用优先法 把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于这类问题一般采取特殊元素(位置)优先安排的方法。 例1. 6人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法? 分析:解有限制条件的元素(位置)这类问题常采取特殊元素(位置)优先安排的方法。解法1:(特殊元素定位法)解法2:(特殊位置占领法)二. 相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”:即将这几个元素看作一个整体,视为一个元素,与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进行排列。 例2. 5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法? 解: 三. 相离问题用插空法 元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例3. 7人排成一排,
2、甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法? 解: 四. 定序问题用除法 对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。解题方法是:先将n个元素进行全排列有种,个元素的全排列有种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,则有种排列方法。 例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个? 解:班级姓名五. 分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题,若没有其他特殊要求,可采取统一成一排的方法解。 例5. 9个人坐成三排,第一排2人,第二排3人,第三排4人,则不同的坐法共有多少种? 解: 六. 复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题,可以采用转化思想,从问题的反面去考虑,先求出无限制条件的方法种数,然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。 例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点,取其中4个不共面的点,则不同的取法共有( ) A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种 解: 七. 多元问题用分类法 按题目条件,把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类,分别计算,最后计算总数。 例7. 已知直线中的a,b,c是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。 解:八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素,后排列。 例8. 将4名教师分派到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分派方案共有多少种? 解:九. 隔板模型法 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。 例9. 有10个三好学生名额,分配到6个班,每班至少1个名额,共有多少种不同的分配方案? 2用心 爱心 专心
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