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2025版高考数学总复习第8章平面解析几何第4讲圆与圆的位置关系圆的综合应用提能训练

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1、第4讲圆与圆的位置关系圆的综合应用A组基础巩固一、单选题1(2022河北保定高三期末)若P(0,1)为圆x22xy2150的弦MN的中点，则直线MN的方程为( A )Ayx1 Byx1Cy2x1 Dy2x1解析圆x22xy2150的圆心为C(1,0)，则CPMN.因为kCP1，所以kMN1，故直线MN的方程为yx1.故选A.2(2023东北三校联考)已知圆C：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得的弦长为2，则圆C与圆C：(x1)2(y1)21的位置关系是( C )A相离 B外切C相交 D内切解析圆C的圆心为(0，a)，半径为a，其圆心到直线xy0的距离为，所截得的弦长为2a2，解得a2，所以C：x2(y2)24，C的圆心为(0，2)，半径为r12；又C的圆心为(1，1)，半径为r21，|CC|，可得r1r2|CC|0)上存在点P，且点P关于直线yx1的对称点Q在圆C2：(x4)2y24上，则r的取值范围是( B )A(3,7) B3,7C(3，) D3，)解析圆C1：(x4)2(y1)2r2(r0)的圆心为C1(4,1)，其关于直线yx1的对称点为C3(0，3)，由题意得，以C

2、3为圆心，以r为半径的圆与圆C2有公共点，所以|r2|C2C3|r2，解得3r7.故选B.7(2023山东烟台一模)过直线xym0上一点P作圆M：(x2)2(y3)21的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为( A )A5m3B3m5Cm3Dm5解析由圆M：(x2)2(y3)21可知，圆心M(2,3)，半径为1，|MA|MB|1，四边形PAMB的面积为S|PA|MA|PB|MB|PA|，|PM|2，要使四边形PAMB的面积为的点P有两个，则2，解得5mD若直线xy0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|解析若m4，O2：(x5)2y216，则圆心O2(5,0)，半径r24，则|O1O2|4，r1r26，|r1r2|2，所以|r1r2|O1O2|r1r2，则圆O1与圆O2相交，故A正确；B错误；若直线xy0与圆O2相交，则圆心O2(5,0)到直线xy0的距离d，故C正确；因为圆心O1(1,0)到直线xy0的距离d，所以|MN|2，故D错误故选AC.9(2024江苏盐城学情调研)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂

3、心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中，ABC满足|AC|BC|，顶点A(1,0)、B(1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(x3)2y2r2相切，则下列结论正确的是( BD )AABC的“欧拉线”方程为yx1B圆M上存在三个点到直线xy10的距离为C若点(x，y)在圆M上，则的最小值是D若圆M与圆x2(ya)22有公共点，则a3,3解析因为|AC|BC|，所以ABC是等腰三角形，由三线合一得：ABC的外心、重心、垂心均在底边上的中线或高线上，设ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，由A(1,0)、B(1,2)可得：AB的中点C，即C(0,1)，kAB1，所以kl1，故l的方程为：y1x，即yx1，A选项错误；因为l与圆M：(x3)2y2r2相切，故r2，又圆心到xy10的距离d1，所以圆M上存在三个点到直线xy10的距离为，B选项正确；点(x，y)在圆M上，表示圆上的点与(1,0)的连线的斜率，当连线与圆相切且位于圆的下方时(如图)，此时k0，最小，设直线m：yk(x1)，由2，解得k1，因为k0，圆心C2(2,4)，r2，由题意可得两

4、圆相外切，所以|C1C2|r1r2，即1，解得m4，故C正确；对于选项D：设点P坐标为(m，n)，所以1，即m2n4，因为PA、PB分别为过点P所作的圆的两条切线，所以CAPA，CBPB，所以点A，B在以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的方程为222，整理可得x2y2mxny0，与已知圆C：x2y24相减可得mxny4，消去m可得(42n)xny4即n(y2x)4x40，由可得所以直线AB经过定点(1,2)，故D正确故选BCD.三、填空题11(2024广东调研)已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)216相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则a的值为 1.解析由题意得到ABC为等腰直角三角形，圆心C(1，a)到直线axy20的距离drsin 45，即2，解得a1.12(2024四川成都名校联考)圆x2y22x0与圆x2y22x2y0的公共弦长为 .解析由已知圆x2y22x0与圆x2y22x2y0公共弦所在直线方程为4x2y0，因为圆x2y22x0圆心为(1,0)，半径r1所以d，弦长为22.13(2024山东青岛调研)已知圆C：x2y24x0，直线l过P(3,4)

5、若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|2，写出满足上面条件的一条直线l的方程 x3(写出x3或15x8y130中的一个即可).解析圆C：x2y24x0的圆心为(2,0)，半径为r2，当直线l无斜率时，此时l：x3，圆心(2,0)到l：x3的距离为1，由|AB|2，r2可知圆心到直线的距离为1，故l：x3满足要求，当直线l有斜率时，设直线方程为yk(x3)4，故圆心到直线的距离为1，解得k，所以直线方程为15x8y130.14(2023福建龙岩质检)写出一个与圆x2y21外切，并与直线yx及y轴都相切的圆的方程 (x1)2(y)21或(x1)2(y)21或(x23)2(y2)22112或(x23)2(y2)22112(写出其中一个即可).解析设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，因为与圆x2y21外切，所以1r，又因为与直线yx及y轴都相切，所以圆心在yx上或yx上，当圆心在yx上，所以ba，r|a|，联立得3a22|a|1，解得或r1.所以求得圆的方程为(x1)2(y)21或(x1)2(y)21.当圆心在yx上，所以ba，r|a|，联立得a22|a|1，解得或r32，所以求得圆的方程为(x23)2(y2)22112或(x23)2(y2)22112.四、解答题15(2023辽宁大边滨城高中联盟期中)一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，求此圆的方程解析解法一：所求圆的圆心在直线x3y0上，且与y轴相切，设所求圆的圆心为C

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