考虑年龄结构的人口模型

1、考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法 是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。不同年龄的个体具有 不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来。基于这一事实， Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。由于男、女性人口(或雌、雄性个体)通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可 以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。将女性按年龄划分成 m+1个组，即 0,1,m组，例如，可5岁(或10岁)一组划分。将时间也离散成间隔相同的一个个时段， 即5年(或10年)为一个时段。记j时段年龄在i组中的女性人数为N(ij)，b为i组每一 妇女在一个时段中生育女孩的平均数，P,为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人数所占的比例(即死亡率d=1-P,)同时假设没有人能活到超过m组的年龄。实际上可以这 样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女(老寿星)人数可以忽略不计，她们早已超 过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的

2、，对今后人口的增长和人口的年龄 结构不产生任何影响，假设站p不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。 如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没 有过于巨大的变化，b、P,事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系：N(0, j +1) = b0 N (0, j) + b1 N (0, j) + . . + bmN (m, j)N (1, j +1) = Pn (0, j)1 0。-N (0, j)-N (0, j +1)_简记N =J:N (m, j)，N =j+1:N (m, j +1)b bm-1m00p 0m-100则方程组(4.28)可简写成N 1 = AN矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量 No=(N(0,0), N( 1,0)，N(m,0)T一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即 可用(4.29)式迭代求得N, = AN, = = Aj+iN人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量

3、是否过多或过少，还取决于 整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。通过对Leslie矩阵A的研究， 可以得到许多十分有用的信息。女性有一定的生育期，例如k组以后的女性不再生育，则有b.O, bk+1，bm均为 零(初始若干个b.也可能为零)，此时A可简记为 I(A 0 )1IA2 A3 J其中A1和A2分别为k+1阶和m-k阶方阵，于是Aj =L A0 J顷(A , A , A ) Aj J 1233 /因为A3是一个下三角阵且对角元素全为零，由高等代数中的哈密顿一凯莱定理，当j - m k时必有A3j = 0，此时郴最后m-k列均为零向量。其实际意义为M时已超过 育龄的女性，其目前的存在对若干年后的人口分布已毫无影响，她对人口发展的贡献将由她 在此前所生育的女孩来完成，这一点当然是十分显然的。/(A1A2A3)为某一用A1、A2、A3表 达的表示式，Aj的这一子块较为复杂，并直接反映出k+1组以后各组的年龄结构，对它的讨 论可以导出避免社会老龄化的条件。现在，我们来研究一下Leslie矩阵，并进而研究时间充分长后种群的年龄结构及数量上 的趋势。因为。0容易看出A1是非奇

4、异的|A = (-1) k-2 p p . p00Pk1bk I事实上，不难直接验证:0p -1000 0p-1A -1 =1 1 b b 1bp bp b1- k 0 k 1 k由Aj的分块结构可知，对A,及N.、的前k+1个分量N (k+d, N (k+D = AN (k+D也成立。1j+1jj+11 j为叙述方便，不妨仍记N jk+1）为N,并记A为A,简略讨论一下前k+1组人口数量的变化 情况。由于人口生育率和死亡率与年龄之间存在着固定的关系，可以预料，经过足够多年后， 人口年龄分布应趋于稳定的比率，即下时段初与本时段初同组人数应当近似地对应或比率， 且各组人数在总人口数中所占的比例应逐渐趋于稳定。现在我们来指出Leslie矩阵的一些性 质，并证明这些预料是正确的。定理4.2 Leslie矩阵具有唯一的正特征根A 1?与之相应的特征向量为N =（人k /（PP .P ）,Xk-1 /（P P .p ）,.,人 /P ,1）r10 1k-110 1k -11k-1证直接计算可得A的特征多项式为f （X） = Xk+1 -b Xk -Pb Xk-1（PP .P ）b（4.1）00

5、10 1k-1 kf (X) = 0等价于P pbp p p b+ 01- + 01k 1 k = 1XXk-13当X由0+T+8时，f1（X ）由+ 8单调下降地趋于零，由此立即可以看出A具有唯一的正特征根X1，（ X1被称为种群的固有增长率，其计算法有许多文献介绍）。现求A的对应于X1的特征向量，记N =解线性方程组AN = X 1N，即b0b1bk-1bkp00000p100.00p0k-1n0（4.2）式中只有k个独立方程，但有k+1个未知量Xk /(p p . p )Xk /(p.p )1k -1X / p1k-11不难看出，（4.2）取/1，可求得（4.3）当且仅当X1 = 1时，lim Nj顼，人口总量将趋于定且各年龄人数在总人j T+8口数中所占的比例也将趋于一个定值。在人固定的情况下，N只和p有关（，=0,侦-1）。p为i组人的存活率，人们总希望 1ii它们越大越好，但由于医疗条件和医学水平的限止，在一定时期内，它们基本上是一些常 数，这样，事实上人们只能通过控制4的值（即实行计划生育）来保证人=1，从而使人 口数趋于稳定。如能实现这一目标，各年龄组人数之比将无法更改

6、地趋于一个稳定的比例（除 非p,的值改变）。如果将Leslie模型用于家禽或家畜预测，情况就有了较大的不同，人们不仅可以控制各 年龄段的繁殖率如还可以通过宰杀来控制各年龄段的存活率p.o从而，人们不仅可以控制 该种群的总量，还能人为地调整各年龄段种群的比例，使之达到更为理想的状态。在定理4.2中，我们证明了七是Leslie矩阵A的唯一正特征根。实际上，我们还可以进 一步证明七必定是A的特征方程的单根，而A的基余n-1个特征根人.（ = 2, ,n）均满足I人人，i=2,n（4.4）定理4.3若Leslie矩阵A的第一行中至少有两个相邻的b0，则（4.4）中严格不等式 i成立，即|人.| 叫，i=2,n且lim Nj CN，其中C为某一常数，其值由b.、p.及N决定。j *8 气1 1定理4.3的条件通常总能满足，故在j充分 大时有% = C jN，即各年龄组人口的比 例总会趋于稳定，且N,+1 X 1 %。若入1，种群量增大；入1，种群量减少。综上所述， 只要先求出A的正特征根入及其对应的特征向量N，确定出C的值，依据调查所得的人 口初值即可大致了解人口发展的总趋势。考察（4.1）中的

7、 f1（人），记 R = f1（1） = b0 + p0b + + （p0，pki）bk。易见 R 即女性一生 所生女孩的平均值。由于（入）的单调性又有定理4.4人1=1的充要条件为R = 1。（注：证明非常简单）由于并非每一妇女均能活到足够的年龄并生下R个女孩，为了保障人口平衡，每一妇 女可生子女数可定为某一略大于2的数乃（这里假设男女之比为1：1），乃称为临界生育率。 根据统计资料计算的结果，中国妇女的临界生育率约为2.2左右。人口迅猛发展使人们日益清醒地意识到，人类必须控制自身的发展，正因为如此，近几 十年来人们开始用现代控制理论的观点和方法来研究人口问题，建立了人口发展的控制模 型，在这方面，我国一些控制论专家已经做了许多开拓性的工作。大多数控制论模型都是以偏微分方程形式给出的，由于连续型控制论模型的求解十分 困难，也可将其转换成近似的离散型模型，以便较容易利用数值方法来求解。在控制论中，N.被称为状态变量。要建立模型，还必然定出控制变量。显然，随着人民 J生活水平的不断提高和医疗卫生条件的不断改善，各年龄组人口的死亡率不断下降、存活率 不断提高。要实现对人口增长的控制只能采取

8、降低人口出生率的办法。记J时段i年龄组中女性所占的百分比为KJ并设，,i2为育龄女性的年龄组，则J时 段新生儿总数为N(0, J +1) 二 气(J)K( J)N(i, J)=湘,J +1) ”i一1NQ1,J), i,m从长远来看，人口的年龄结构总会趋于逐渐稳定，但这一过程是十分漫长的。由于初始 状态的影响，人口年龄结构很可能会长期振荡。例如，目前我国人口中年青人占的比例很大 (约占60%)，加上计划生育降低出生率，必然造成若干年后社会人口的严重老化，造成社 会负担过重等一系列不得不引起人们注意的社会问题。待这一代人越出m组后，又会使人 口迅速年青化而走向另一极端。为了尽可能减小这种年龄结构上的振荡，建立人口问题的控 制论模型并进而制定人口政策时，人们又引入了一个控制变量h(i,J)，使得b(J)= B h(i,J)且 h(i, J) = 1心1h(iJ)称为女性生育模式，用来调整育龄妇女在不同年龄组内生育的高低。例如，为简单 起见，可通过控制结婚年龄和生育两胎间的年龄差来接近h(iJ)的理想值。于是，Leslie模型 可作如下形式上的改变其中0 0p 0(j):0 p (j) 0m-1b； (j)bi (j) 0A(j)=0:L 0 P00 B( j)=.b；(J) = 6 (J)h(i, J)K (J)。在一定时期内，p (j),(j = 0,m -1) (j), h(i,j)和Kj可视为与j无关的常数(例 如h(ij)的改变即更改女性生育模式，意味着人口控制政策的更改)，从而在这一时期内A(j). 8。)可取常数矩阵A、B。控制论模型常采取一些评价函数来评判控制模型的效果，对于人口模型，可类似连续型 模型，引入以下一些人口指数：(1)人口总量不妨以N(j)记j时段的人口总量，N(j)=无N(j,j)。i=0(2)平均年龄y(j) = ZiN(i, j)。N (j) ni =0(3)平均寿命Q( j) = exp-(1 - p

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