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【数学】平面向量及其应用全章复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

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1、必修二-平面向量平面向量全章复习第一部分平面向量的概念及其线性运算知识点一向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量典例1、给出如下命题：向量的长度与向量的长度相等；向量与平行，则与的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个公共终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点，必在同一条直线上其中正确的命题个数是（） A1B2C3D4典例2、给出下列四个命题：若=0，则=0；若=，则=或=-；若，则=；有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（）A0个 B1个C2个D3个随堂练习：1、给出下列命题：若=-，则=；若，则；若=，则；若，则.其中正确命题的个数是（）A0B1C2D32、下列叙述中错误的是（）

2、A若=，则32 B已知非零向量与且，则与的方向相同或相反C若，则知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab典例1、已知、是不平行的向量，若，则下列关系中正确的是（） A B C D典例2、设，是任一非零向量，则在下列结论中:；.正确结论的序号是（） AB CD典例3、已知下列各式：；；； .其中结果为的是 .(填序号) 答案：典例4、在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（） A矩形 B梯形 C平行四边形 D菱形典例5、如图，已知向量，求作向量典例6、在中，设，.设点分别是边的两个三等分点（其中点离点近，点离点近），试用表示和；典例7、（1）已知、的模分别为1、2、3，求|+|的最大值；（2）如图，已知矩形

3、ABCD中，设，试求|+|的大小典例8、已知平面上不共线的四点，若，则等于（）A BC3 D2典例9、1、计算下列各式：（1）4(+)3()；（2）3(2+)(2+3)；（3）2、已知，求. 典例10、如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示知识点三共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.注意：1、作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2、在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个；3、要注意向量共线与三点共线的区别与联系来源:学.科.网Z.X.X.K知识点四向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则()来源:学科网ZXXK知识点五三点共线等价关系A，P，B三点共线 (0)(1t)t(O为平面内异于A，P，B的任一点，tR) xy (O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)典例1、设两非零向量和不共线，(1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.典例2已知向量，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数，使向量与共线？典例3、如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点

4、M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设p， q，求证：1.随堂练习：1、已知向量是不共线的两个向量，（1）若，当时，求的值（2）若三点共线，求实数t的值；2、如图所示，在中，与相交于点，设，.（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，求的值.3、在的边，上分别取点，使得，设线段与交于点，记，用，表示向量课后练习一、单选题1、若，均为任意向量，则下列等式不一定成立的是（）A B C D2、如图所示，等腰梯形中，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（） A B C D3、下列各式中不能化简为的是（）A B C D4、已知向量，不共线，如果，那么（）A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向5、我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若，则=（） A B C D6、已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（）A B C D7、若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）

5、A30B60C120D1508、设，是三个非零向量，且相互不共线，有下列命题：；不与垂直；其中，是真命题的有（） A B C D9、如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，则的最小值为（） A2 B C D10、若点是所在平面内一点，且满足：.则与的面积之比为（）A BCD二、填空题11、已知，则_. 12、已知，且是与方向相反的单位向量，则在上的投影向量为_.13、已知，且与垂直，则_. 14、已知向量，则_ 15、已知，且，则实数_. 16、已知M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的取值范围是_.17、已知菱形的边长为2，点分别在直线上，若，则实数的值为_. 四、解答题18、计算：（1）；（2）19、已知，.（1）当k为何值时，与共线？（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值20、设m为实数，若，是不共线的两个向量，且A，B，C三点共线，求m的值21、已知，与的夹角为，设（1）求的值；（2）若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围22、如图，在直角三角形ABC中，求：（1）；（2）23、如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值24、如图，在边长为1的正ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若m，n，m，n(0，1)设EF的中点为M，BC的中点为N（1）若A，M，N三点共线，求证：mn；（2）若m+n=1，求的最小值学科网（北京）股份有限公司

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