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全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导第八讲复数

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1、学习好资料欢迎下载全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第八讲复数知识、方法、技能I复数的四种表示形式代数形式：z=a+bi(a,bR）几何形式：复平面上的点Z（a,b）或由原点出发的向量OZ.三角形式：z=r(cosq+isinq),r0,0R.指数形式：z=reiq.复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.II复数的运算法则加、减法：(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i;乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;除法：snsnsr(coq+isiq)r(coq+isiq)=rrcoq(+q)+isinq(+q);111222121212a+biac+bdbc-ad=+i(c+di0).c+bic2+d2c2+d2r(cosq+isinq)rr(cosq+isinq)r111=1cos(q-q)+isin(q-q).12122222乘方：r(cosq+isinq)n=rn(cosnq+isinnq)(nN）；开方：复数r(cosq+isinq)的n次方根是nr(cosq+2kp+isinq+

2、2kp)(k=0,1,L,n-1).nnIII复数的模与共轭复数复数的模的性质|z|Re(z)|,|z|Im(z)|;|zzLz|=|z|z|L|z|;12n12n|z1|=z2|z|1|z|2学习好资料欢迎下载(z0);2|z|-|z|z+z|,与复数z、z对应的向量OZ、OZ反向时取等号；12121212|z+z+L+z|z|+|z|+L+|z|，与复数z,z,L,z对应的向量12n12n12nOZ,OZL,OZ同时取等号.12n共轭复数的性质zz=|z|2=|z|2；z+z=2Re(z),z-z=2Im(z)；z=zzz=zz；1212zz=zz；1211(z1z2)=z1z2(z0);2z是实数的充要条件是z=z,z是纯虚的充要条件是z=-z(z0).复数解题的常用方法与思想（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等（辐角相差2p的整数倍）.利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.赛题精讲例1：设m、n为

3、非零实数，i为虚单位，zC，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|=-m如图I181，在同一复平面内的图形（F1、F2是焦点）是（）学习好资料欢迎下载图I181【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据m、n的取值讨论进行求解.【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得方程在复平面上表示以点-ni,mi为焦点的椭圆，n0,故-n0.这表明，至少有一焦点在下半虚轴上，可见（A）不真.又由方程，椭圆的长轴之长为n，|F1F2|m|.故在图（B）与（D）中，均有F1:ni，F2:mi，且m0.（1）若n0,m0.这时，在坐标平面上，F1（0，n），F2（0，m），只可能为图象（C），但与|F1F2|0,m|m|.故在（B）与（D）中，均有F1:ni；F2:mi，且m0,r0)12学习好资料欢迎下载22221221222得8=(1r+231r-r=0,21r+3r=8,1331r)+i(r-r),12解得r=4,r=43,代入后，21+得2z2=4(-1+3i),z=2(cospp+isin)=(1+3i).33【别解】如图I182，OD=z2.过D作与实轴平行的直

4、线AB，取AD=BD=4，则OA=z2-4,OB=z2+4.xOA=5pp,xOB=.63从而BOA=p2.在RtDAOB中,|AD|=|DB|=|OD|=4,2pxOD=xOB+BOD=2xOB=,32p2pz2=4(cos+isin),33z=2(cospp+isin)33=(1+3i)【评述】本题的两种解法中，前者应用了复数的三角形式；后者应用了复数的几何意义，数形结合，形象直观.例3：x的二次方程x2+zx+z+m=0中,z、z、m均是复数，且z2-4z=16+20i.121212设这个方程的两个根为a、b，且满足|a-b|=27.求|m|的最大值和最小值.【解法1】根据韦达定理有a+b=-z,1ab=z2+m.图I18341学习好资料欢迎下载Q(a-b)2=(a+b)2-4ab=z2-4z-4m,12|a-b|2=|4m-(z2-4z)|=28.121|m-(z2-4z)|=7,2即|m-(4+5i)|=7.这表明复数m在以A（4，5）为圆心，以7为半径的圆周上如图I183所示.|QOA|=42+52=417,故原点O在A之内.连接OA，延长交A于两点B与C，则|OB|=|OA|+|AB|=41+7为|m|最大值.|OC|=|CA|AO|=741为|m|最小值.|m|的最大值是41+7,|m|的最小值是741.【解法2】同解法1，得|m-(4+5i)|=7,令m=x+yi(x,yR）.x=7cosa+4,则y=7sina+5.|m|2=x2+y2=90+56cosa+70sina41cosa+=90+1441(4541sina)【解法3】根据韦达定理，有=90+1441sin(a+j),其中sinj=4.41|m|的最大值=90+1441=7+41,|m|的最小值=90+1441=7-41.a+b=-z1ab=z2+m.(a-b)2=(a+b)2-4ab=z2-4z-4m，12|a-b|2=|4m-(z2-4z)|=|4m-(16+20i)|=28.12学习好资料欢迎下载即|

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