全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导第八讲复数

学习好资料欢迎下载全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第八讲 复数知识、方法、技能I复数的四种表示形式代数形式： z = a + bi(a, b ÎR）几何形式：复平面上的点 Z（ a, b ）或由原点出发的向量 OZ .三角形式： z = r (cosq + i sin q ), r ³ 0,0 ÎR.指数形式： z = re iq .复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.II复数的运算法则加、减法： (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d )i;乘法： (a + bi)(c + di) = (ac - bd ) + (bc + ad )i;除法：snsnsr ( c oq + i s i q ) × r ( c oq + i s i q ) = r r  c o q ( + q ) + i s i nq( + q )  1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2a + bi  ac + bd  bc - ad=        +       i(c + di ¹ 0).c + bi  c 2 + d 2  c 2 + d 2r (cosq   + i sin q  )  rr (cosq + i sin q )r111=1 cos(q - q ) + i sin(q - q ).12122222乘方： r (cosq + i sin q )n = r n (cos nq + i sin nq )(n Î N）；开方：复数 r (cosq + i sin q )的n 次方根是 n r (cos q + 2kp + i sin q + 2kp )(k = 0,1,L, n - 1).nnIII复数的模与共轭复数复数的模的性质 | z |³| Re( z) |,| z |³ Im(z) |; | z × z L z |=| z | × | z | L | z |;12n12n | z 1 |=z2| z |1| z |2学习好资料            欢迎下载( z ¹ 0);2 | z | - | z |£| z + z |, 与复数z 、 z 对应的向量 OZ 、 OZ 反向时取等号；12121212 | z + z + L + z |£| z | + | z | + L + | z | ，与复数 z , z ,L, z 对应的向量12n12n12nOZ , OZ L, OZ 同时取等号.12n共轭复数的性质 z × z =| z |2 =| z |2 ； z + z = 2 Re(z), z - z = 2 Im(z) ； z = z z ± z = z ± z ；1212 z × z = z × z ；1211 ( z1z2) = z1z2( z ¹ 0);2z 是实数的充要条件是 z = z, z 是纯虚的充要条件是 z = - z ( z ¹ 0).复数解题的常用方法与思想（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等（辐角相差 2 p 的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.赛题精讲例 1：设 m、n 为非零实数，i 为虚单位， z Î C，则方程 | z + ni | + | z - mi |= n 与| z + ni | - | z - mi |= -m 如图 I181，在同一复平面内的图形（F1、F2 是焦点）是（）学习好资料欢迎下载图 I181【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据 m、n 的取值讨论进行求解.【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得方程在复平面上表示以点 - ni, mi 为焦点的椭圆， n > 0, 故 - n < 0 .这表明，至少有一焦点在下半虚轴上，可见（A）不真.又由方程，椭圆的长轴之长为 n，|F1F2|<n，而图（C）中有|OF1|=n，可见（C）不真.又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即| n |>| m | .故在图（B）与（D）中，均有 F1 : ni，F2 : mi，且 m < 0 . 由方程，双曲线上的点应满足，到 F2 点的距离小于该点到 F1 点的距离.答案：（B）【别解】仿上得 n>0.（1）若 n > 0, m > 0. 这时，在坐标平面上， F1（0，n），F2（0，m），只可能为图象（C），但与|F1F2|<长轴 n，而|OF1|=n 矛盾.（2）若 n > 0, m < 0.这时, F (0,-n), F (0, m) 均在 y 轴的下半轴下，故只能为图象（B）12与（D）.又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即|n|>|m|. 故在（B）与（D）中，均有 F1 : ni；F2 : mi，且 m<0. 由方程，双曲线上的点应满足到 F2 点的距离小于该点到 F1 点的距离.答案：（B）（【评述】 1）本题涉及的知识点：复数的几何意义，复平面上的曲线与方程，椭圆，双曲线，共焦点的椭圆与双曲线，讨论法.（2）本题属于读图题型 两种解法均为基本方法：解法中前者为定义法；后者为分类讨论法., arg( z 2 + 4) =  , 则z 的值是        .例 2：若 z Î C, arg( z 2 - 4) =5p            p6            3【思路分析】本题可由已知条件入手求出复数 z 的模，继而求出复数；也可由几何意义入手来求复数 z.【略解】令 z 2 - 4 = r (cos15p     5p+ i sin  ),                     6      63     3ppz 2 + 4 = r (cos+ i sin),2( r > 0, r > 0)12学习好资料欢迎下载22       2     21í 2ï21ï 222得 8 = ( 1 r +2ì 31ïr -r = 0,2ï 1 r +3 r = 8,13       3    1r ) + i(   r -  r ),1 2解得 r = 4, r = 4 3, 代入后，2 1+得 2 z 2 = 4(-1 + 3i), z = ±2(cosp      p+ i sin ) = ±(1 + 3i).3     3【别解】如图 I182， OD = z 2 .过 D 作与实轴平行的直线 AB，取 AD=BD=4，则OA = z 2 - 4,OB = z 2 + 4.ÐxOA =5p        p, ÐxOB =  .6         3从而ÐBOA = p2.在RtDAOB中,| AD |=| DB |=| OD |= 4,2pÐxOD = ÐxOB + ÐBOD = 2ÐxOB =,32p2p z 2 = 4(cos+ i sin),33 z = ±2(cosp      p+ i sin )3     3í= ±(1 + 3i)【评述】本题的两种解法中，前者应用了复数的三角形式；后者应用了复数的几何意义，数形结合，形象直观.例 3：x 的二次方程 x 2 + z x + z + m = 0中, z 、 z 、m 均是复数，且 z 2 - 4 z = 16 + 20i .121212设这个方程的两个根为a 、 b ，且满足 | a - b |= 2 7 .求|m|的最大值和最小值.【解法 1】根据韦达定理有ìa + b = - z ,1îab = z 2 + m.图 I18341学习好资料欢迎下载Q (a - b ) 2 = (a + b ) 2 - 4ab = z 2 - 4 z - 4m,12| a - b |2 =| 4m - ( z 2 - 4 z ) |= 28.121| m -( z 2 - 4 z ) |= 7,2即 | m - (4 + 5i) |= 7.这表明复数 m 在以 A（4，5）为圆心，以 7 为半径的圆周上如图 I183 所示.|Q OA |=4 2 + 52 =41 < 7, 故原点 O 在A 之内. 连接 OA，延长交A 于两点 B 与C，则|OB|=|OA|+|AB|= 41 + 7为 | m | 最大值.|OC|=|CA|AO|=7 41为 | m | 最小值.|m|的最大值是 41 + 7,| m | 的最小值是 741 .【解法 2】同解法 1，得 | m - (4 + 5i) |= 7,令m = x + yi( x, y Î R ）.ìx = 7 cosa + 4,则íî y = 7 sin a + 5. | m |2 = x 2 + y 2 = 90 + 56 cos a + 70 sin a41  cosa += 90 + 14 41(4541 sin a )【解法 3】根据韦达定理，有 í= 90 + 14 41 sin(a + j ),其中 sin j = 4 .41 |m|的最大值= 90 + 14 41 = 7 +41,|m|的最小值= 90 + 14 41 = 7 - 41.ìa + b = - z1îab = z 2 + m.(a - b ) 2 = (a + b ) 2 - 4ab = z 2 - 4 z - 4m ，12| a - b |2 =| 4m - ( z 2 - 4 z ) |=| 4m - (16 + 20i) |= 28.12学习好资料欢迎下载即 |