小升初培优之“牛吃草”问题
283页1、第 39 周“牛吃草”问题一、知识要点牛吃草问题是牛顿问题,因牛顿提出而得名的。“一堆草可供 10 头牛吃 3 天,供 6 头牛吃几天?”这题很简单,用 3106=5(天),如果把“一堆草” 换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了。因为草每天走在生长,草 的数量在不断变化。这类工作总量不固定(均匀变化)的问题就是“牛吃草”问 题。解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不 变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以每天新长出的草是不变的。 正确计算草地上原有的草及每天长出的草,问题就容易解决了。二、精讲精练【例题 1】一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周,那么这片草地可供 21 头牛吃几周?这片草地上的草的数量每天都在变化,解题的关键应找到不变量即原来 的草的数量。因为总草量可以分成两部分:原有的草与新长出的草。新长出的草 虽然在变,但应注意到是匀速生长,因而这片草地每天新长出的草的数量也是不 变的。假设 1 头牛一周吃的草的数量为 1 份,那么 27 头牛 6 周需要吃 276=162 (份)
2、,此时新草与原有的草均被吃完;23头牛 9 周需吃 239=207(份),此时 新草与原有的草也均被吃完。而162 份是原有的草的数量与 6 周新长出的草的数 量的总和;207 份是原有的草的数量与 9 周新长出的草的数量的总和,因此每周 新长出的草的份数为:(207-162)(9-6)=15(份),所以,原有草的数量为: 162-156=72(份)。这片草地每周新长草15 份相当于可安排 15 头牛专吃新长 出来的草,于是这片草地可供 21 头牛吃 72(21-15)12(周)练习 11、一片草地,每天都匀速长出青草,如果可供 24 头牛吃 6 天,20 头牛吃 10 天,那么可供 19 头牛吃几天?2、牧场上一片草地,每天牧草都匀速生长,这片牧草可10供头牛吃20 天,或者可供 15 头牛吃 10 天,问可供 25 头牛吃几天?3、牧场上的青草每天都在匀速生长,这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头 牛吃 9 周,那么这片草地可供 21 头牛吃几周?【答案】1.每天长草量:(2010-246)(10-6)=14(份)原有草量:246-146=60(份)可吃天数:60(19-
3、14)=12(天)2.每天长草量:(2010-1510)(20-10)=5(份)原有草量:(10-5)20=100(份)可吃天数:100(25-5)=5(天)3.每天长草量:(239-276)(9-6)=15(份)原有草量:(27-15)6=72(份)可吃时间:72(21-15)=12(周)【例题 2】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度 在减少。已知某块草地上的草可供20 头牛吃 5 天或可供 15 头牛吃 6 天。照此计 算,可供多少头牛吃 10 天?与例 1 不同的是,不仅没有新长出的草,而且原有的草还在减少,但是, 我们同样可以利用与例 1 类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份,20 头牛 5 天吃 100 份,15 头牛 6 天吃 90 份,100-90=10(份),说明寒冷的天气使牧场1 天减少青草 10 份,也就是 寒冷导致的每天减少的草量相当于 10 头牛在吃草。由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”,再加上寒冷导致的每天减少的草量相当10于头牛同时在吃草, 所以原有草两有(20+10)5=150(份)
4、,由15010=15 知道,牧场原有的 草可供 15 头牛吃 10 天。由寒冷导致的原因占去10 头牛吃的草,所以可供5 头牛吃 10 天。练习 2:1、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算, 牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 16 头牛吃 6 天。那么,可供 11 头牛吃几 天?2、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草 可供 33 头牛吃 5 天或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10 天?3、经测算,地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年,或可供 80 亿人生活 300 年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的,那么,为满足人类不断发展 的需要,地球最多能养活多少亿人?【答案】1.每天减少量:(205-166)(6-5)=4(份)原有草量:(20+4)5=120(份)可吃天数:120(11+4)=8(天)2.每天减少量:(335-246)(6-5)=21(份)原有草量:(33+21)5=270(份)牛的数量:27010-21=6(头)3.(80300-100100)(300-100)=70
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