高考数学试题汇编:第13章 导数第2节 导数的应用
46页1、第十三章 导数二 导数的应用【考点阐述】利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值【考试要求】(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值【考题分类】(一)选择题(共2题)1.(江西卷理12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图形面积为(),则导函数的图像大致为 A BCD【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识,重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除C;总面积一直保持增加,没有负的改变量,排除B;考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变,产生中断,选择A。2.(山东卷文8)已知某生产厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(A)13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件【答案】C【解析】令导数,解得;令导数,解得,所以
2、函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,所以在处取极大值,也是最大值,故选C。 【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用,属基础题。(二)解答题(共35题) / 1.(安徽卷理17)设为实数,函数。 ()求的单调区间与极值;()求证:当且时,。2.(安徽卷文20)设函数,求函数的单调区间与极值。【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】(1)对函数求导,对导函数用辅助角公式变形,利用导数等于0得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,求极值.【思维总结】对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值,利用导数为0得可能的极值点,通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性,进而得出极值点.3.(北京卷理18)已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时,求曲线=()在点(1,(1)处的切线方程;()求()的单调区间。解:(I)当时, 由于所以曲线处的切线方程为。即(II)当时,因此在区间上,;在区间上,;所以的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,得;因此,在区间和
3、上,;在区间上,;即函数 的单调递增区间为和,单调递减区间为;当时,.的递增区间为当时,由,得;因此,在区间和上,在区间上,;即函数 的单调递增区间为和,单调递减区间为。4.(北京卷文18)设定函数,且方程的两个根分别为1,4。()当a=3且曲线过原点时,求的解析式;()若在无极值点,求a的取值范围。5.(福建卷理20)()已知函数,其图象记为曲线。()求函数的单调区间;()证明:若对于任意非零实数,曲线与其在点处的切线交于另一点,曲线与其在点处的切线交于另一点,线段、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则为定值;()对于一般的三次函数,请给出类似于()(ii)的正确命题,并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】()(i)由得=,当和时,;当时,因此,的单调递增区间为和,单调递减区间为。(ii)曲线C与其在点处的切线方程为得,即,解得,进而有,用代替,重复上述计算过程,可得和,又,所以因此有。()记函数的图象为曲线,类似于()(i
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