教案3—连续(精品)
11页1、教案第一章 函数、极限、连续1.3 函数的连续性 函数连续性现实世界中很多变量的变化是连续不断的。如:气温的变化、物体运动的路程变化、金属丝加热时程度的改变等等,都是连续变化的。这种现象反映在数学上就是函数的连续性,它是微积分的又一重要概念。下面我们先引入函数改变量的概念。一、 函数改变量的概念1、 自变量的改变量设函数的自变量由初值变到终值,则终值与初值之差,就叫做自变量的改变量,记作: 注意: 可以是正的,也可以是负的。 2、 函数的改变量 设函数,当自变量由时变到时,函数相应的改变量为,记作: 例1 设,求符合下列条件的与 ; ; 解: ; 二、 连续函数的概念气温是时间的函数,当时间变化不大时,气温的变化也不大;物体运动的路程是时间的函数,当时间变化不大时,路程的变化也不大;金属丝的长度是温度的函数,当温度变化不大时,长度的变化也不会大 对于函数定义域内的一点,如果自变量在点处取得极其微小的改变量时,函数相应的改变量也极其微小,且当时,有,则称函数在点处是连续的。再观察下面的四个函数曲线,可以看到,这四条函数曲线在处都断开了。分别考察这些函数在时的极限不难发现,这些函数曲线断开
2、的原因有:(a) (b) (c) (d) 函数在点无定义,如图中 (a)、(c)所示; 函数在时极限不存在,如图中 (b)和(c)所示; ,如图中(d)所示。 1、 函数在一点处的连续性定义2.8 设函数在点的某邻域内有定义,若当自变量在点处取得的改变量时,函数相应的增量,即: 则称函数在点处连续,称为该函数的连续点。分析上述定义不难发现,当我们 令 ,即 则,即;且 则 ,即,即 可以改写为: 故函数在一点处连续,也可如下定义:定义2.8 设函数在点的某邻域内有定义,若当时,函数的极限存在且等于它在点处的函数值,即 则称函数在点处连续。 因此求连续函数在某点的极限,只须求出函数在该点的函数值即可。 注意:连续与极限的区别: 当研究时函数的极限的时候,只考虑当时,的变化趋势,而不考虑在点处是否有定义。 当研究时函数的连续的时候,必须考虑在点处有定义,且时,的极限值要等于函数值。例1 试判断函数在点的连续性。解: 因为,所以函数在点连续。例2 试判断函数在点的连续性 解 因为 在处有定义,且; ; ,所以函数在点处连续。2、 函数的左连续、右连续 由左极限、右极限的定义我们很方便地得出函
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