教案3—连续(精品)

教案第一章 函数、极限、连续§1.3 函数的连续性 函数连续性现实世界中很多变量的变化是连续不断的。如：气温的变化、物体运动的路程变化、金属丝加热时程度的改变等等，都是连续变化的。这种现象反映在数学上就是函数的连续性，它是微积分的又一重要概念。下面我们先引入函数改变量的概念。一、 函数改变量的概念1、 自变量的改变量设函数的自变量由初值变到终值，则终值与初值之差，就叫做自变量的改变量，记作： 注意： 可以是正的，也可以是负的。 2、 函数的改变量 设函数，当自变量由时变到时，函数相应的改变量为，记作： 例1 设，求符合下列条件的与 ； ； 解： ； 二、 连续函数的概念气温是时间的函数，当时间变化不大时，气温的变化也不大；物体运动的路程是时间的函数，当时间变化不大时，路程的变化也不大；金属丝的长度是温度的函数，当温度变化不大时，长度的变化也不会大 对于函数定义域内的一点，如果自变量在点处取得极其微小的改变量时，函数相应的改变量也极其微小，且当时，有，则称函数在点处是连续的。再观察下面的四个函数曲线，可以看到，这四条函数曲线在处都断开了。分别考察这些函数在时的极限不难发现，这些函数曲线断开的原因有：(a) (b) (c) (d) 函数在点无定义，如图中 (a)、(c)所示； 函数在时极限不存在，如图中 (b)和(c)所示； ，如图中(d)所示。 1、 函数在一点处的连续性定义2.8 设函数在点的某邻域内有定义，若当自变量在点处取得的改变量时，函数相应的增量，即： 则称函数在点处连续，称为该函数的连续点。分析上述定义不难发现，当我们 令 ，即 则，即；且 则 ，即，即 可以改写为： 故函数在一点处连续，也可如下定义：定义2.8 设函数在点的某邻域内有定义，若当时，函数的极限存在且等于它在点处的函数值，即 则称函数在点处连续。 因此求连续函数在某点的极限，只须求出函数在该点的函数值即可。 注意：连续与极限的区别： 当研究时函数的极限的时候，只考虑当时，的变化趋势，而不考虑在点处是否有定义。 当研究时函数的连续的时候，必须考虑在点处有定义，且时，的极限值要等于函数值。例1 试判断函数在点的连续性。解： 因为，所以函数在点连续。例2 试判断函数在点的连续性 解 因为 在处有定义，且； ； ，所以函数在点处连续。2、 函数的左连续、右连续 由左极限、右极限的定义我们很方便地得出函数左连续、右连续的定义如下：定义2.9 设函数在点的某邻域范围内有定义，若，则称在处左连续；，则称在处右连续。3、 函数在一点处连续的充要条件函数在点处既是左连续，又是右连续的，则函数在点处连续。 例3 讨论函数，在处的连续性。 解： 函数在处有定义，且； ， ， ， 所以，函数在点处是连续的。4、函数在区间上的连续性定义2.10 若函数在区间上每一点都连续，则函数在区间上连续，或称为区间上的连续函数 ，区间叫做函数的连续区间。定义2.10 若函数在闭区间上有定义，在开区间内连续，且在区间左端点处右连续，在区间右端点处左连续，即： ， 则称函数在闭区间上连续。 注意：一切基本初等函数在其定义区间内都是连续的！例4 讨论函数，在处的连续性。解 函数在处有定义，且； ，（左连续） ，（右连续） （由充要条件定理） 所以，函数在点处是连续的。例5 若，确定常数，使得函数在处连续。 解：;, . 连续函数运算性质一、 四则运算法则定理 2.3：如果函数和在点处连续，则函数 ； ，（） 都在点处连续。说明：连续函数经过四则运算以后仍然是连续函数。二、 复合函数的连续性 定理 2.4：设函数在点处连续，且，而函数在点处连续，则复合函数 在点处也是连续的。说明：连续函数经过复合以后仍然是连续函数。三、 初等函数的连续性由基本初等函数的图像可知，一切基本初等函数在其定义域内连续。又知，初等函数都是由基本初等函数经过四则运算或复合以后形成的，再由前面两个定理可得到一个重要结论如下： 一切初等函数在其定义区间内都是连续的！四、 利用函数连续性求函数极限函数的连续性提供了一种求极限的简便方法：如果已知函数连续，则可运用函数在某连续点的函数值计算自变量趋近该点的极限值，即： 例5 求 解：为初等函数，在处连续， 例6 求极限。解： 为初等函数，且在处有定义， 例7 试计算。解： 因为 是初等函数，属于其定义区间，所以 函数间断点1、 函数的间断点 由前面定义可知，判断函数在某点处连续需要同时满足三个条件：（1）在点的某邻域内有定义；（2）存在；（3）极限值等于该点函数值。以上三条中若有一条不成立，则为函数的间断点（不连续点）。2、 间断点分类 第一类间断点（左、右极限都存在） 第二类间断点（至少有一侧极限不存在） 除第一类间断点外，函数所有其它形式的间断点均称为第二类间断点。例1 判断函数在处连续性。 解： 在的左右近旁有定义且 例2 讨论函数在处连续性。 解： 在的左右近旁有定义且 在处不连续是间断的。§1.4 曲线的渐近线 为了考察曲线伸向无穷远时的变化状态，就需要确定曲线的渐近线。由前面我们已经看出，求曲线的渐近线实际就是求极限问题。定义2.11 若曲线上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某定直线的距离趋于零，则称该直线是曲线的渐近线。一、 水平渐近线求法对曲线，若 或 图1-33则称直线是曲线的水平渐近线。例1 求曲线的渐近线。 解： 如图1-33所示 曲线沿轴负向有水平渐近线曲线沿轴正向有水平渐近线图1-34例2 求曲线的水平渐近线。解： 如图1-34所示 曲线仅沿轴负向无限延伸时，以直线为水平渐近线。 二、 铅垂渐近线求法 对曲线，若： 或 则曲线沿轴负向或正向以直线为铅垂渐近线。 点一般是函数的间断点，也可是函数定义区间的端点。 故可以从这两点着手确定点，从而减少盲目。例3 求曲线的铅垂渐近线。解： 的 故为其间断点 而 曲线沿轴负向、正向延伸时，都以直线为铅垂渐近线。例4 求曲线的渐近线 解： 曲线有水平渐近线 ； 又 （3为其间断点） 曲线有铅垂渐近线 。 4Zy_BUU 第一章 函数、极限、连续