高等数学基础知识点归纳考研数学考研数学

1、n阶导数。1(1x)4一般地，可得y(n)(1)n1(n1)!(1x)n莱布尼茨（Leibniz)公数的定义域必是无限的点集，但也不能说是全体实数，如ytanx的定义域为（-，+）。且xk/2、商求导法则如果函数uu(x)及vv(x)都在点x具有导数。那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点性质：A.极限的唯一性：如果数列xn收敛，那么它的极限唯一。（根据极限的定义用反证法证明）B.有第一讲 函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性 （给 定集合的元素必须是确定的）和互异性 （给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能 构成集合，因为它的元素不是确定的。、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。、全体实数组成的集合叫做实数集，记作 R。集合的表示方法、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“”括起来表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集

2、合间的基本关系、子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，我们就 说 A、B 有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B。、相等：如何集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，此时集合 A 中的元素与集合 B 中 的元素完全一样，因此集合 A 与集合 B 相等，记作 AB。、真子集：如何集合 A 是集合 B 的子集，但存在一个元素属于 B 但不属于 A，我们称集合 A 是集合B 的真子集，记作A 。 、 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定， 空集是任何集合的子集。 、 由上述集合之间的基本关系， 可以得到下面的结论：、任何一个集合是它本身的子集。、对于集合 A、B、C，如果 A 是 B 的子集， B 是 C 的子集， 则 A 是 C 的子集。、我们可以把相等的集合叫做“等集”， 这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算、并集：一般地， 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集。记作 AB。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即

3、 A B x|xA，或 xB。、 交集：一般地， 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集。记作 A B。即 A B x|xA，且 xB。、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素， 那么就称这个集合为全集。通常记作 U。、 补集：对于一个集合A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U行求解：a)：若方程F(x,y)0，能化为yf(x)的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；b)：若数yf(x)在点x0的邻域内有定义，当自变量x在领域内从x0变到x0x时，函数y相应地从f(x0)变性质：A.极限的唯一性：如果数列xn收敛，那么它的极限唯一。（根据极限的定义用反证法证明）B.有可导。这时函数yf(x)对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个的补集。简称为集合 A 的补集，记作 CUA。即 CUA x|xU，且 x 不属于 A。、运算公式：交换律： AB=B A A B=B A结合律：（ AB)C=A(B C)(A B)C=A(B C）分配律：（ AB)C=

4、（AC）（ BC)（AB)C=（AC）（ BC)对偶律： CU（AB)=CUA CUBCU（AB)=CUA CUB集合中元素的个数、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。、用 card 来表示有限集中元素的个数。例如 A a,b,c ，则 card(A)=3 。、一般地，对任意两个集合 A、B，有card(A)+card(B)=card(A B)+card(A B)2、常量与变量、 变量的定义： 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量， 其中有的量在过程中不起变化， 我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其 称 之为变量。、变量的表示： 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说， 区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间a ，+) ：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为： ax+；(- ， b) ：表示小于 b 的实数的全体，也可记为： - xb；(- ， +) ：表示全体实数，也可记为： - x+注：其中- 和+，分别读

5、作负无穷大和正无穷大, 它们不是数, 仅仅是记号。、 邻域：设与是两个实数，且 0. 满足不等式 x-的实数x 的全体称为点的邻域，点 称为此邻域的中心， 称为此邻域的半径。小)，总存在着正数，使得当x满足不等式0xx0时，对应的函数值f(x)都满足不等式x0）注：在定义中度v对时间tddsdtdt定义：函数yf(x)的导数yf(x)仍然是x的函数.我们把yf(x：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的式：(uv)nkunkvk隐函数及其求导法则我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.若函数y可以3、函数、函数的定义： 如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量 y 按照一定的法则 f 总有确定的数值与它对应，则称 y 是 x 的函数。 变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。通 常 x 叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量） ，变量 y 的变化范围叫做这个函数的值域。注： 为了表明 y 是 x 的函数，我们用记号 y=f(x) 、y=F(x) 等等来表示。这里的字母f 、F表示 y 与 x 之间的对应法则即函

6、数关系, 它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确 定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只 讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为： 定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应 关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。3、函数的简单性态、函数的有界性：如果对属于某一区间 I 的所有 x 值总有f(x) M 成立，其中 M 是一个与 x 无关的常数，那么我们就称 f(x) 在区间 I 有界，否则便称无界。注： 一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数。函数的有界性，单调性应与相关点集I 联系起来，离开了点集I 。这些概念是没有任何意义的。 、函数的单调性：如果函数在定义域区间(a,b) 内随着x 增大而增大，即：对于(a,b) 内任意两点 x1及 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在区间(a,b) 内是单调增加的。如果函数 f (x) 在定义域区间(a,b) 内随着x 增大而减小

7、，即： 对于(a,b) 内任意两点 x1及 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在区间(a,b) 内是单调减小的。、函数的奇偶性如果函数 f (x) 对于定义域内的任意 x 都满足 f ( x) f (x) ，则 f (x) 叫做偶函数； 如果函数对于定义域内的任意 x 都满足 f ( x) f (x) ，则 f (x) 叫做奇函数。注： 偶函数的图形关于y 轴对称， 奇函数的图形关于原点对称。奇偶函数的定义域必关于原点对称。、函数的周期性设 f (x) 的定义域为I 。若存在T 0 ，对任意的 x I ，都使得 f (x T) f (x)(x T I) ，则称函数 f (x) 为周期函数，称T 为其周期。注： 我们说的周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域必是无限的点集， 但也不能说是全体实数，如 y tan x 的定义域为（ - ，+）。 且x k /2(k=0,1,2.)d(A)+card(B)=card(AB)+card(AB)常量与变量、变量的定义：我们在观察反函数的求导法则有：dydydtdxdtdxdy1dtdxd

8、t(t)(t)dy上式也可写成dxd数的微分公式（自己归纳总结）常数和基本初等函数的导数公式（(x)在点M(x0,f(x0)处的切线的斜率，即f(x0)tan，其中是切线的倾角。注：函数yf若 f (x) 以T 为最小正周期，则 f ( x) 以 ( 0) 为最小正周期A.奇函数+奇函数=奇函数 B. 偶函数+偶函数=偶函数 C. 奇函数偶函数=奇函数D.奇函数奇函数=偶函数 E 偶函数偶函数=偶函数T4、反函数、反函数的定义： 若由函数 y f (x) 得到 x (y) ，则称 x (y) 是 y f (x) 的反函数， y f (x)为直接函数，反函数也可记为 y f 1 (x)注： f 1 f (x) f f 1 (x) x、反函数的存在定理 ：若在(a ，b) 上严格增( 减) ，其值域为 R，则它的反函数必然在 R上确定，且严格增( 减).例题： y x2 ，其定义域为(- ,+ ) ，值域为0,+ ). 对于 y 取定的非负值, 可求得 x y . 若我们不加条件，由 y 的值就不能唯一确定 x 的值，也就是在区间(- ,+ ) 上，函数不是严格增( 减) ，故其没有反 函数。如果我们加上条件，要求 x0，则对 y0、x= 就是 y x2 在要求 x0 时的反函数。即是：函数在此要求下严格增( 减).、反函数的性质 ：在同一坐标平面内， 与的图形是关于直线 y=x 对称的。例题： 函数 y 2x 与函数 y log 2 x互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y x对称的。如右图所示：按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常n从某项起有xn0（或xn0），且limxa，那么a0（或a0）注：即使从某项起有xn0（或xn0变量的增量等于自变量的微分)由此我们得出：函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x数yf(x)在点x0的邻域内有定义，当自变量x在领域内从x0变到x0x时，函数y相应地从f(x0)变5、复合函数复合函数的定义：若y 是 u

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