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n阶导数。1(1x)4一般地,可得y(n)(1)n1(n1)!(1x)n莱布尼茨(Leibniz)公数的定义域必是无限的点集,但也不能说是全体实数,如ytanx的定义域为(-,+)。且xk/2、商求导法则如果函数uu(x)及vv(x)都在点x具有导数。那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点性质:A.极限的唯一性:如果数列xn收敛,那么它的极限唯一。(根据极限的定义用反证法证明)B.有第一讲 函数,极限,连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性 (给 定集合的元素必须是确定的)和互异性 (给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能 构成集合,因为它的元素不是确定的。、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N、所有正整数组成的集合叫做正整数集,记作N+。、全体整数组成的集合叫做整数集,记作Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集,记作Q。、全体实数组成的集合叫做实数集,记作 R。集合的表示方法、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“”括起来表示集合、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系、子集:一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素,我们就 说 A、B 有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A B。、相等:如何集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,此时集合 A 中的元素与集合 B 中 的元素完全一样,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 AB。、真子集:如何集合 A 是集合 B 的子集,但存在一个元素属于 B 但不属于 A,我们称集合 A 是集合B 的真子集,记作A 。 、 空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定, 空集是任何集合的子集。 、 由上述集合之间的基本关系, 可以得到下面的结论:、任何一个集合是它本身的子集。、对于集合 A、B、C,如果 A 是 B 的子集, B 是 C 的子集, 则 A 是 C 的子集。、我们可以把相等的集合叫做“等集”, 这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算、并集:一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集。记作 AB。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。)即 A B x|xA,或 xB。、 交集:一般地, 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集。记作 A B。即 A B x|xA,且 xB。、全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素, 那么就称这个集合为全集。通常记作 U。、 补集:对于一个集合A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U行求解:a):若方程F(x,y)0,能化为yf(x)的形式,则用前面我们所学的方法进行求导;b):若数yf(x)在点x0的邻域内有定义,当自变量x在领域内从x0变到x0x时,函数y相应地从f(x0)变性质:A.极限的唯一性:如果数列xn收敛,那么它的极限唯一。(根据极限的定义用反证法证明)B.有可导。这时函数yf(x)对于区间(a,b)内的每一个确定的x值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个的补集。简称为集合 A 的补集,记作 CUA。即 CUA x|xU,且 x 不属于 A。、运算公式:交换律: AB=B A A B=B A结合律:( AB)C=A(B C)(A B)C=A(B C)分配律:( AB)C=(AC)( BC)(AB)C=(AC)( BC)对偶律: CU(AB)=CUA CUBCU(AB)=CUA CUB集合中元素的个数、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。、用 card 来表示有限集中元素的个数。例如 A a,b,c ,则 card(A)=3 。、一般地,对任意两个集合 A、B,有card(A)+card(B)=card(A B)+card(A B)2、常量与变量、 变量的定义: 我们在观察某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量, 其中有的量在过程中不起变化, 我们把其称之为常量;有的量在过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,我们则把其 称 之为变量。、变量的表示: 如果变量的变化是连续的,则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说, 区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。以上我们所述的都是有限区间,除此之外,还有无限区间a ,+) :表示不小于 a 的实数的全体,也可记为: ax+;(- , b) :表示小于 b 的实数的全体,也可记为: - xb;(- , +) :表示全体实数,也可记为: - x+注:其中- 和+,分别读作"负无穷大"和"正无穷大", 它们不是数, 仅仅是记号。、 邻域:设与是两个实数,且 0. 满足不等式 x-的实数x 的全体称为点的邻域,点 称为此邻域的中心, 称为此邻域的半径。小),总存在着正数,使得当x满足不等式0xx0时,对应的函数值f(x)都满足不等式x0)注:在定义中度v对时间tddsdtdt定义:函数yf(x)的导数y'f'(x)仍然是x的函数.我们把y'f'(x:a):自变量无限增大;b):自变量无限接近某一定点x0下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的式:(uv)nkunkvk隐函数及其求导法则我们知道用解析法表示函数,可以有不同的形式.若函数y可以3、函数、函数的定义: 如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时,量 y 按照一定的法则 f 总有确定的数值与它对应,则称 y 是 x 的函数。 变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。通 常 x 叫做自变量,y 叫做函数值(或因变量) ,变量 y 的变化范围叫做这个函数的值域。注: 为了表明 y 是 x 的函数,我们用记号 y=f(x) 、y=F(x) 等等来表示。这里的字母"f" 、"F"表示 y 与 x 之间的对应法则即函数关系, 它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确 定的值时,函数只有一个确定的值和它对应,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。这里我们只 讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知,一个函数的构成要素为: 定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应 关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,我们就称两个函数相等。3、函数的简单性态、函数的有界性:如果对属于某一区间 I 的所有 x 值总有f(x) M 成立,其中 M 是一个与 x 无关的常数,那么我们就称 f(x) 在区间 I 有界,否则便称无界。注: 一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数。函数的有界性,单调性应与相关点集I 联系起来,离开了点集I 。这些概念是没有任何意义的。 、函数的单调性:如果函数在定义域区间(a,b) 内随着x 增大而增大,即:对于(a,b) 内任意两点 x1及 x2 ,当 x1 x2 时,有 f (x1) f (x2 ) ,则称函数 f (x) 在区间(a,b) 内是单调增加的。如果函数 f (x) 在定义域区间(a,b) 内随着x 增大而减小,即: 对于(a,b) 内任意两点 x1及 x2 ,当 x1 x2 时,有 f (x1) f (x2 ) ,则称函数 f (x) 在区间(a,b) 内是单调减小的。、函数的奇偶性如果函数 f (x) 对于定义域内的任意 x 都满足 f ( x) f (x) ,则 f (x) 叫做偶函数; 如果函数对于定义域内的任意 x 都满足 f ( x) f (x) ,则 f (x) 叫做奇函数。注: 偶函数的图形关于y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称。奇偶函数的定义域必关于原点对称。、函数的周期性设 f (x) 的定义域为I 。若存在T 0 ,对任意的 x I ,都使得 f (x T) f (x)(x T I) ,则称函数 f (x) 为周期函数,称T 为其周期。注: 我们说的周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域必是无限的点集, 但也不能说是全体实数,如 y tan x 的定义域为( - ,+)。 且x k /2(k=0,1,2.)d(A)+card(B)=card(AB)+card(AB)常量与变量、变量的定义:我们在观察反函数的求导法则有:dydydtdxdtdxdy1dtdxdt'(t)'(t)dy上式也可写成dxd数的微分公式(自己归纳总结)常数和基本初等函数的导数公式((x)在点M(x0,f(x0)处的切线的斜率,即f'(x0)tan,其中是切线的倾角。注:函数yf若 f (x) 以T 为最小正周期,则 f ( x) 以 ( 0) 为最小正周期A.奇函数+奇函数=奇函数 B. 偶函数+偶函数=偶函数 C. 奇函数·偶函数=奇函数D.奇函数·奇函数=偶函数 E 偶函数·偶函数=偶函数T4、反函数、反函数的定义: 若由函数 y f (x) 得到 x (y) ,则称 x (y) 是 y f (x) 的反函数, y f (x)为直接函数,反函数也可记为 y f 1 (x)注: f 1 f (x) f f 1 (x) x、反函数的存在定理 :若在(a ,b) 上严格增( 减) ,其值域为 R,则它的反函数必然在 R上确定,且严格增( 减).例题: y x2 ,其定义域为(- ,+ ) ,值域为0,+ ). 对于 y 取定的非负值, 可求得 x y . 若我们不加条件,由 y 的值就不能唯一确定 x 的值,也就是在区间(- ,+ ) 上,函数不是严格增( 减) ,故其没有反 函数。如果我们加上条件,要求 x0,则对 y0、x= 就是 y x2 在要求 x0 时的反函数。即是:函数在此要求下严格增( 减).、反函数的性质 :在同一坐标平面内, 与的图形是关于直线 y=x 对称的。例题: 函数 y 2x 与函数 y log 2 x互为反函数,则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y x对称的。如右图所示:按照一定的法则f总有确定的数值与它对应,则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常n从某项起有xn0(或xn0),且limxa,那么a0(或a0)注:即使从某项起有xn0(或xn0变量的增量等于自变量的微分)由此我们得出:函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x数yf(x)在点x0的邻域内有定义,当自变量x在领域内从x0变到x0x时,函数y相应地从f(x0)变5、复合函数复合函数的定义:若y 是 u