勾股定理的应用实例解析
14页1、.第十一讲勾股定理与应用时间:2005-9-9 16:11:00 来源:初中数学竞赛 作者:佚名 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理 勾股定理 直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2勾股定理逆定理 如果三角形三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法关于勾股定理,有很多证法,在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的下面的证法1是欧几里得证法证法1 如图2-16所示在RtABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE,BCHK,ACFG,它们的面积分别是c2,a2,b2下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和过C引CMBD,交AB于L,连接BG,CE因为AB=AE,AC=AG,CAE=BAG,所以ACEAGB(SAS)而精品.所以 SAEML=b2 同理可证 SBLMD=a2 +得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2,即 c2=a2+b2证法2 如图2-17所示将RtABC的两条直角边CA,CB分别延长到D,F,使AD=a,BF=b完成正方形CDEF(它
2、的边长为a+b),又在DE上截取DG=b,在EF上截取EH=b,连接AG,GH,HB由作图易知ADGGEHHFBABC,所以AG=GH=HB=AB=c,BAG=AGH=GHB=HBA=90,因此,AGHB为边长是c的正方形显然,正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(ABC,ADG,GEH,HFB)的面积和,即精品.化简得 a2+b2=c2证法3 如图2-18在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB,自E作EGCB延长线于G,自D作DKCB延长线于K,又作AF, DH分别垂直EG于F,H由作图不难证明,下述各直角三角形均与RtABC全等:AFEEHDBKDACB设五边形ACKDE的面积为S,一方面S=SABDE+2SABC, 另一方面S=SACGF+SHGKD+2SABC 由,精品.所以 c2=a2+b2关于勾股定理,在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法,我们将在习题中展示其中一小部分,它们都以中国古代数学家的名字命名利用勾股定理,在一般三角形中,可以得到一个更一般的结论定理 在三角形中,锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的
3、平方和,减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍证 (1)设角C为锐角,如图2-19所示作ADBC于D, 则CD就是AC在BC上的射影在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2, 在直角三角形ACD中,AD2=AC2-CD2, 又BD2=(BC-CD)2, ,代入得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2精品.=AC2-CD2+BC2+CD2-2BCCD=AC2+BC2-2BCCD,即c2=a2+b2-2aCD (2)设角C为钝角,如图2-20所示过A作AD与BC延长线垂直于D,则CD就是AC在BC(延长线)上的射影在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2, 在直角三角形ACD中,AD2=AC2-CD2, 又BD2=(BC+CD)2, 将,代入得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BCCD=AC2+BC2+2BCCD,即c2=a2+b2+2acd 精品.综合,就是我们所需要的结论特别地,当C=90时,CD=0,上述结论正是勾股定理的表述:c2=a2+b2因此,我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾
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