排列组合--插板法、插空法、捆绑法
3页1、-排列组合问题插板法(分组)、插空法不相邻、捆绑法相邻插板法m为空的数量【基此题型】有n个一样的元素,要求分到不同的m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法.图中“表示一样的名额,“表示名额间形成的空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板,则将这10 个名额分割成七个局部,将第一、二、三、七个局部所包含的名额数分给第一、二、三七所学校,则“挡板的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法,反之,名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法,即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的,【总结】需满足条件:n个一样元素,不同个m组,每组至少有一个元素,则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。注意:这样对于很多的问题,是不能直接利用插板法解题的。但,可以通过一定的转变,将其变成符合上面3个条件的问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到的效果。【根本解题思路】将n个一样的元素排成一行,n个元素之间出现了n-1个空档,现在我们用m-1个“档板插入n-1个空档中,就把n个元素隔成有序的m份,每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素可能是1个
2、、2个、3个、4个、.,这样不同的插入方法就对应着n个一样的元素分到m组的一种分法,这种借助于这样的虚拟“档板分配元素的方法称之为插板法。【基此题型例题】【例1】共有10完全一样的球分到7个班里,每个班至少要分到一个球,问有几种不同分法.解析:我们可以将10个一样的球排成一行,10个球之间出现了9个空隙,现在我们用6个档板插入这9个空隙中,就“把10个球隔成有序的7份,每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球可能是1个、2个、3个、4个,这样,借助于虚拟“档板就可以把10个球分到了7个班中。【基此题型的变形一】题型:有n个一样的元素,要求分到m组中,问有多少种不同的分法.解题思路:这种问题是允许有些组中分到的元素为“0,也就是组中可以为空的。对于这样的题,我们就首先将每组都填上1个,这样所要元素总数就m个,问题也就是转变成将n+m个元素分到m组,并且每组至少分到一个的问题,也就可以用插板法来解决。【例2】有8个一样的球放到三个不同的盒子里,共有种不同方法.A35 B28 C21 D45解答:题目允许盒子有空,则需要每个组添加1个,则球的总数为8+31=11,此题就有C10,2=45种
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