1、 海淀区高三年级第二学期期末练习 数学(理科) 2016.5本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.已知全集, 则 A. B. C. D.2.在数列中,且,则的值为A. B. C. D.3. 若点在直线(为参数)上,则的值为 A. B. C. D.4.在中, 则 A. B. C. D.5.在(其中)的展开式中,的系数与的系数相同,则的值为A. B. C. D.6.函数的零点个数是A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7. 如图,在等腰梯形中,. 点在线段上运动,则的取值范围是A. B. C. D.8.直线与轴的交点分别为, 直线与圆的交点为. 给出下面三个结论: ; ;则所有正确结论的序号是 A. B. C. D.二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。9. 已知其中为虚数单位,则_. 10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况,抽查了100名同学,统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频
2、率分布直方图(如图). 则这100名同学中参加实践活动时间在小时内的人数为 _ .11. 如图,是上的三点,点是劣弧的中点,过点的切线交弦 的延长线交于点. 若,则12. 若点在不等式组所表示的平面区域内,则原点到直线距离的取值范围是_. 13.已知点,若这三个点中有且仅有两个点在函数的图象上,则正数的最小值为_.14.正方体的棱长为,点分别是棱的中点,以为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上,则这个正三棱柱的高.三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. (本小题满分13分) 已知函数.()比较,的大小;()求函数的最大值. 16.(本小题满分13分)某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调,销售情况如下表所示:第一周第二周第三周第四周第五周型数量(台)111015型数量(台)101213型数量(台)15812()求型空调前三周的平均周销售量 ;()根据型空调连续3周销售情况,预估型空调连续5周的平均周销量为10台.请问:当型空调周销售量的方差最小时, 求,的值; (注:方差,其中为,的平均数)()为跟踪调查空调的使用情况,
3、根据销售记录,从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台,求抽取的两台空调中 型空调台数的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分) 如图,等腰梯形中,于,于,且,.将和分别沿、折起,使、两点重合,记为点,得到一个四棱锥,点,分别是的中点.()求证:平面;()求证:;()求直线与平面所成的角的大小.18.(本小题满分14分) 已知函数. ()当时,求函数的单调区间;()若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围;() 若曲线存在两条互相垂直的切线,求实数的取值范围.(只需直接写出结果)19. (本小题满分13分)已知点其中是曲线上的两点, 两点在轴上的射影分别为点,且. ()当点的坐标为时,求直线的斜率;()记的面积为,梯形的面积为,求证:. 20.(本小题满分13分)已知集合,其中., 称为的第个坐标分量. 若,且满足如下两条性质: 中元素个数不少于4个; ,存在,使得的第个坐标分量都是1;则称为的一个好子集.()若为的一个好子集,且,写出;()若为的一个好子集,求证:中元素个数不超过;()若为的一个好子集且中恰好有个元素时,求证:一定存在唯一一个,使得中所有元素的第个
4、坐标分量都是1. 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学(理科) 2016.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)题号12345678答案ABDBCACC二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9 10 11.12 13 14三、解答题(本大题共6小题,共80分)15解:()因为所以 2分 4分因为 ,所以 6分()因为 9分令 , 所以, 11分因为对称轴, 根据二次函数性质知,当 时,函数取得最大值 13分16解: (I) 型空调前三周的平均销售量台 2分()因为型空调平均周销售量为台,所以 4分又化简得到 5分因为,所以当或时,取得最小值所以当 或时,取得最小值 7分()依题意,随机变量的可能取值为, 8分, , , 11分随机变量的分布列为随机变量的期望. 13分17解: ()证明:连结.在中,因为分别是所在边的中点,所以, 1分又, 所以, 2分所以是平行四边形,所以, 3分又平面,平面, 4分所以平面. 5分()证明:方法一:在平
5、面内,过点作的平行线,因为所以平面,所以平面,所以.又在中,因为,所以.以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系 6分 所以 7分所以, 8分所以,所以. 9分方法二:取中点,连接. 又为的中位线,所以 又,所以,所以在一个平面中. 6分 因为是等边三角形,所以,又,所以, 7分 且,所以平面, 8分而平面, 所以. 9分()因为, 所以, 即, 又 , 所以平面,所以就是平面的法向量. 11分又,设与平面所成的角为,则有 13分所以与平面所成的角为. 14分18解: ()函数的定义域为. 当时, 2分当变化时,的变化情况如下表:极大值极小值4分函数的单调递增区间为,函数的单调递减区间为. 5分()解:因为在区间上有解,所以 在区间上的最小值小于等于. 因为, 令,得. 6分当时,即时,因为对成立,所以在上单调递增,此时在上的最小值为所以,解得,所以此种情形不成立, 8分 当,即时, 若, 则对成立,所以在上单调递增,此时在上的最小值为 所以,解得,所以 . 9分若,若,则对成立,对 成立.则在上单调递减,在上单调递增,此时在上的最小值为所以有,解得,10分当时,注意到, 而,此时结论成立. 11分综上,的取值范围是 . 12分法二:因为在区间上有解,所以在区间上的最小值小于等于,当时,显然,而成立, 8分当时,对成立,所以在上单调递增,此时在上的最小值为,所以有,解得,所以. 11分综上,. 12分()的取值范围是. 14分19解:()因为,所以代入
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