中考数学二轮复习冲刺第05讲 一元二次方程、分式方程的解法及应用(14个考点)(知识精讲)(解析版)
19页1、第05讲 一元二次方程、分式方程的解法及应用(14个考点)【考纲要求】1.理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程;2. 会解分式方程,解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想【知识导图】 【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程它的一般形式为(a0)2.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:把方程变成的形式,当m0时,方程的解为;当m0时,方程的解;当m0时,方程没有实数解 (2)配方法:通过配方把一元二次方程变形为的形式,再利用直接开平方法求得方程的解(3)公式法:对于一元二次方程,当时,它的解为 (4)因式分解法:把方程变形为一边是零,而另一边是两个一次因式积的形式,使每一个因式等于零,就得到两个一元一次方程,分别解这两个方程,就得到原方程的解要点诠释:直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法,配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法3一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为0方程有两个不相等
2、的实数根;0方程有两个相等的实数根;0方程没有实数根上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边要点诠释: 0方程有实数根.4一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a0)的两个根是,那么考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程,叫做分式方程要点诠释:(1)分式方程的三个重要特征:是方程;含有分母;分母里含有未知量.(2)分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数),分母中含有未知数的方程是分式方程,不含有未知数的方程是整式方程,如:关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程. 2.分式方程的解法去分母法,换元法3.解分式方程的一般步骤(1)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程;(2)解这个整式方程;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀:“一化二解三检验”.要点诠释:解分式方程时,有可能产生增根,增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原方程,可使原方程的分母为零,因此必须验根考点三、一元二次方程、分式
3、方程的应用1应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数,对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律 (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题 其中的几个关系式:利润售价-成本价(进价),利润率100% 明确这几个关系式是解决这类问题的关键 (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系,能够设出未知数,并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题,也是易出错的问题,一定要分析其中的特点,同向而行一般是追及问题,相向而行一般是相遇问题 注意:追及和相遇的综合题目,要分析出哪一部分是追及,哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量原有量增长率; 现有量原有量+增长量; 现有量原有量-降低量2解应用题的步骤(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;(3)找出相等关系,并用它列出方程;(4)解方程求出题中未知数的值;(5)检验所求的答数是否符合题意,并做答
4、要点诠释: 方程的思想,转化(化归)思想,整体代入,消元思想,分解降次思想,配方思想,数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想 注意:设列必须统一,即设的未知量要与方程中出现的未知量相同;未知数设出后不要漏棹单位;列方程时,两边单位要统一;求出解后要双检,既检验是否适合方程,还要检验是否符合题意【典型例题】一一元二次方程的解(共2小题)1(2022东坡区校级模拟)若a是x23x20210的一个根,则a23a+1的值是()A2020B2021C2022D2023【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a23a2021,然后利用整体代入的方法得到a23a+1的值【解答】解:a是x23x20210的一个根,a23a20210,a23a2021,a23a+12021+12022故选:C【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解2(2022东坡区校级模拟)已知m是一元二次方程x22x20的一个根,则代数式2m24m+2017的值为()A2020B2021C2022D2023【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m22m2,再把2m
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