中考数学二轮复习冲刺第05讲 一元二次方程、分式方程的解法及应用（14个考点）（知识精讲）（解析版）

第05讲 一元二次方程、分式方程的解法及应用（14个考点）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想【知识导图】 【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程它的一般形式为(a0)2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m0时，方程的解为；当m0时，方程的解；当m0时，方程没有实数解 （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为 （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法3一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为>0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；<0方程没有实数根上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边要点诠释： 0方程有实数根.4一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a0)的两个根是，那么考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：是方程；含有分母；分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程. 2.分式方程的解法去分母法，换元法3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根考点三、一元二次方程、分式方程的应用1应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律 (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题 其中的几个关系式：利润售价-成本价(进价)，利润率×100% 明确这几个关系式是解决这类问题的关键 (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量原有量×增长率； 现有量原有量+增长量； 现有量原有量-降低量2解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想 注意：设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；未知数设出后不要漏棹单位；列方程时，两边单位要统一；求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意【典型例题】一一元二次方程的解（共2小题）1（2022东坡区校级模拟）若a是x23x20210的一个根，则a23a+1的值是（）A2020B2021C2022D2023【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a23a2021，然后利用整体代入的方法得到a23a+1的值【解答】解：a是x23x20210的一个根，a23a20210，a23a2021，a23a+12021+12022故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解2（2022东坡区校级模拟）已知m是一元二次方程x22x20的一个根，则代数式2m24m+2017的值为（）A2020B2021C2022D2023【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m22m2，再把2m24m+2017变形为2（m22m）+2017，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：m是一元二次方程x22x20的一个根m22m20，即m22m2，2m24m+20172（m22m）+20172×2+20172021故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解二解一元二次方程-配方法（共1小题）3（2022兴宁区校级模拟）解方程：x24x+20【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案【解答】解：x24x+20x24x2x24x+42+4（x2）22，则x2±，解得：x12+，x22【点评】此题主要考查了配方法解方程，正确配平方是解题关键三解一元二次方程-因式分解法（共1小题）4（2022安徽三模）解方程：x28x+70【分析】利用因式分解法求解即可【解答】解：分解因式可得（x1）（x7）0，x10或x70，x1或x7【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，正确分解因式是解题的关键四根的判别式（共2小题）5（2022河南模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k20没有实数根，则k的值可以是（）A2BC0D1【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案【解答】解：（k+1）24×k2k2+2k+1k22k+10，k，故选：D【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确运用根的判别式，本题属于基础题型6（2022洪山区模拟）判断方程14x28x的根的情况是（）A有三个实数根B有两个实数根C有一个实数根D无实数根【分析】将方程变形，作出相应函数图象，观察交点个数即可得答案【解答】解：方程变形为：x28x+14，画出y和yx28x+14的图象，如图：由图可知有3个解，x28x+14有3个实数解，即方程14x28x有3个实数解，故选：A【点评】本题考查分式方程解的情况，解题的关键是作出函数图象，掌握函数图象上点坐标的特征五根与系数的关系（共2小题）7（2022东坡区校级模拟）已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x50的两个实数解，则的值为（）ABC1D【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解答】解：x1，x2分别为一元二次方程x2+4x50的两个实数解，x1+x24，x1x25故选：B【点评】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1x28（2022东坡区校级模拟）若m，n是方程x2+x10的两根，则式子m2+2m+n的值是 0【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m10，即m2+m1，则原式可化为m+n+1，然后根据根与系数的关系进行计算【解答】解：m是方程x2+x10的根，m2+m10，即m2+m1，m2+2m+nm+n+1，m、n是方程x2+x10的根，m+n1，m2+2m+n1+10故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1x2也考查了一元二次方程的解六由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）9（2022广西模拟）我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐水深、葭长各几何？”其大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺（丈、尺是长度单位，1丈10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（）A102+（x1）2x2B102+（x1）2（x+1）2C52+（x1）2x2D52+（x1）2（x+1）2【分析】首先设这根芦苇的长度为x尺，水深为（x1）尺，根据勾股定理可得方程【解答】解：设这根芦苇的长度为x尺，水深为（x1）尺，根据勾股定理得：52+（x1）2x2，故选：C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据勾股定理列出一元二次方程是解题的关键10（2022沈阳模拟）某市2020年底森林覆盖率为45%为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2022年底森林覆盖率将达到48%如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（）A0.45（1+x）0.48B0.45（1+x）20.48C0.45（1+2x）0.48D0.45（1+2x）20.48【分析】利用2022年底森林覆盖率2020年底森林覆盖率×（1+这两年的森林覆盖率年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解答】解：依题意得：45%（1+x）248%，即0.45（1+x）20.48故选：B【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键七一元二次方程的应用（共4小题）11（2022观山湖区模拟）有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A8人B9人C10人D11人【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过