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（江苏专用）高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节圆锥曲线的综合问题第三课时定点、定值、探索性问题课时跟踪检测理-人教高三数学试题

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常见问题

1、课时跟踪检测（五十四）定点、定值、探索性问题一保高考，全练题型做到高考达标1如图，已知A1，A2，B1，B2分别是椭圆C：1(ab0)的四个顶点，A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.(1)求椭圆C及圆M的方程；(2)若点D是圆M劣上一动点(点D异于端点A1，B2)，直线B1D分别交线段A1B2，椭圆C于点E，G，直线B2G与A1B1交于点F.求的最大值；试问：E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)由题意知B2(0,1)，A1(，0)，所以b1，a，所以椭圆C的方程为y21.易得圆心M，A1M，所以圆M的方程为2y2.(2)设直线B1D的方程为ykx1，与直线A1B2的方程yx1联立，解得点E.联立消去y并整理，得(13k2)x26kx0，解得点G.111，当且仅当k时等号成立所以的最大值为.易得直线B2G的方程为yx1x1，与直线A1B1的方程yx1联立，解得点F，所以E，F两点的横坐标之和为2.故E，F两点的横坐标之和为定值，该定值为2.2(2016盐城二模)已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点P，记椭圆的左顶点为A.

2、(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k22，求证：直线DE恒过一个定点解：(1)由题意得解得所以椭圆的方程为x22y21.(2)设B(m，n)，C(m，n)，则SABC2|m|n|mn|.又1m22n222|mn|，所以|mn|，当且仅当|m|n|时取等号，从而SABC.所以ABC面积的最大值为.(3)证明：因为A(1,0)，所以直线AD：yk1(x1)，直线AE：yk2(x1)联立消去y，得(12k)x24kx2k10，解得x1或x，故点D.同理，E.又k1k22，故E.故直线DE的方程为y ，即y，即yx.所以2yk(3x5)k14y0.则令得直线DE恒过定点.3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，直线l：xmy10(mR)过椭圆C的右焦点F交椭圆C于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程 (2)已知点D，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上

3、？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由解：(1)在xmy10中，令y0，则x1，所以F(1,0)由题设，得解得从而b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)令m0，则A，B或A，B.当A，B时，P；当A，B时，P.所以满足题意的定直线l2只能是x4.下面证明点P恒在直线x4上设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，从而只要证明P(4，y1)在直线BD上由消去x，得(43m2)y26my90.因为144(1m2)0，所以y1y2，y1y2.因为kDBkDP.将式代入上式，得kDBkDP0，所以kDBkDP.所以点P(4，y1)在直线BD上，从而直线l1、直线BD与直线l2：x4三线恒过同一点P，所以存在一条定直线l2：x4，使得点P恒在直线l2上4. 如图，已知椭圆C：y21，A，B是四条直线x2，y1所围成的两个顶点(1)设P是椭圆C上任意一点，若mn，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M，N是椭圆C上两个动点，且直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说

4、明理由解：(1)证明：易求A(2,1)，B(2,1)设P(x0，y0)，则y1.由mn，得所以(mn)21，即m2n2.故点Q(m，n)在定圆x2y2上(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则.平方得xx16yy(4x)(4x)，即xx4.因为直线MN的方程为(x2x1)y(y2y1)xx1y2x2y10，所以O到直线MN的距离为d，所以OMN的面积SMNd|x1y2x2y1|1.故OMN的面积为定值1.二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2015苏锡常镇、宿迁一调)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线lx轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：APOM；(3)试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)因为椭圆C：1(ab0)的离心率为，所以a22c2，又c2a2b2，所以a22b2.又椭圆C过点，所以1.所以a24，b22.所以椭圆C的方程为1.(2)证明：法一：设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为yk(x2)设P(x1，y1)，将yk(x2)代入椭圆C的方程1中并化简得(2k21)x28k2x8k240，解得x1，x22，所以y1k(x12)，从而P.令x2，得y4k，所以M(2，4k)，(2，4k)又，所以0，所以APOM.法二：设P(x0，y0)因为A(2,0)，B(2,0)所以kPAkPB.又因为点P在椭圆上，所以1，所以y2.所以kPAkPB.因为kPBkMBtanMBA，kMOtanMOA，所以kPBkMO.因为kPB，所以kMOkPA1，即APMO.(3)设M(2，t)，P(x0，y0)由(2)得APMO.所以kAP，kOM.所以kAPkOM1.所以t.所以(x0，y0)2x0y04.所以为定值4.

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