(江苏专用)高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第32练 与直线和圆有关的最值问题 理
8页1、第32练与直线和圆有关的最值问题题型一有关定直线、定圆的最值问题例1已知x,y满足x2y50,则(x1)2(y1)2的最小值为_破题切入点直接用几何意义距离的平方来解决,另外还可以将x2y50改写成x52y,利用二次函数法来解决答案解析方法一(x1)2(y1)2表示点P(x,y)到点Q(1,1)的距离的平方由已知可知点P在直线l:x2y50上,所以PQ的最小值为点Q到直线l的距离,即d,所以(x1)2(y1)2的最小值为d2.方法二由x2y50,得x52y,代入(x1)2(y1)2并整理可得(52y1)2(y1)24(y2)2(y1)25y218y175(y)2,所以可得最小值为.题型二有关动点、动直线、动圆的最值问题例2直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点当OAOB最小时,O为坐标原点,求l的方程破题切入点设出直线方程,将OAOB表示出来,利用基本不等式求最值解依题意,l的斜率存在,且斜率为负,设直线l的斜率为k,则y4k(x1)(k0)令y0,可得A(1,0);令x0,可得B(0,4k)OAOB(1)(4k)5(k)5(k)549.所以,当且仅当k且
2、k0)与圆x2y24交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|,那么k的取值范围是_破题切入点结合图形分类讨论答案,2)解析当|时,O,A,B三点为等腰三角形的三个顶点,其中OAOB,AOB120,从而圆心O到直线xyk0(k0)的距离为1,此时k;当k时,|,又直线与圆x2y24存在两交点,故k2,综上,k的取值范围是,2)总结提高(1)主要类型:圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离,圆上的点到直线的距离的最值过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线段长的最小值问题两圆相离,两圆上点的距离的最值已知圆上的动点Q(x,y),求与点Q的坐标有关的式子的最值,如求axby,等的最值,转化为直线与圆的位置关系(2)解题思路:数形结合法:一般结合待求距离或式子的几何意义,数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解函数法:引入变量构建函数,转化为函数的最值求解(3)注意事项:准确理解待求量的几何意义,准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系;涉及切线段长的最值时,要注意切线,圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形
3、1若动点A,B分别在直线l1:xy70和l2:xy50上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为_答案3解析依题意知,AB的中点M的集合是与直线l1:xy70和l2:xy50距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M所在直线的方程为l:xym0,根据平行线间的距离公式得|m7|m5|m6,即l:xy60,根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为3.2已知点M是直线3x4y20上的动点,点N为圆(x1)2(y1)21上的动点,则MN的最小值是_答案解析圆心(1,1)到点M的距离的最小值为点(1,1)到直线的距离d,故点N到点M的距离的最小值为d1.3已知P是直线l:3x4y110上的动点,PA,PB是圆x2y22x2y10的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是_答案解析如图所示,圆的标准方程为(x1)2(y1)21,圆心为C(1,1),半径为r1.根据对称性可知四边形PACB面积等于2SAPC2PArPA,故PA最小时,四边形PACB的面积最小,由于PA,故PC最小时,PA最小,此时,直线CP垂直于直线l:3x4y110,故PC的最小
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