(江苏专用)高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第34练 双曲线的渐近线和离心率 理
8页1、第34练双曲线的渐近线和离心率题型一双曲线的渐近线问题例1(2013课标全国)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为_破题切入点根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系,进而求出渐近线答案yx解析由e知,a2k,ck,k(0,),由b2c2a2k2,知bk.所以.即渐近线方程为yx.题型二双曲线的离心率问题例2已知O为坐标原点,双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A,B,若()0,则双曲线的离心率e为_破题切入点数形结合,画出合适图形,找出a,b间的关系答案解析如图,设OF的中点为T,由()0可知ATOF,又A在以OF为直径的圆上,A,又A在直线yx上,ab,e.题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题例3已知A(1,2),B(1,2),动点P满足.若双曲线1(a0,b0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是_破题切入点先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系,进一步列出关于离心率e的不等式进行求解答案(1,2)解析设P(x,y),由题设条件,得动点P的轨迹为(
2、x1)(x1)(y2)(y2)0,即x2(y2)21,它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆又双曲线1(a0,b0)的渐近线方程为yx,即bxay0,由题意,可得1,即1,所以e1,故1e1的条件,常用到数形结合(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法由yx00,所以可以把标准方程1(a0,b0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据,由于,当e逐渐增大时,的值就逐渐增大,双曲线的“张口”就逐渐增大1已知双曲线1(a0,b0)以及双曲线1的渐近线将第一象限三等分,则双曲线1的离心率为_答案2或解析由题意,可知双曲线1的渐近线的倾斜角为30或60,则或.则e 或2.2已知双曲线C:1 (a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为H,若F2H的中点M在双曲线C上,则双曲线C的离心率为_答案解析取双曲线的渐近线yx,则过F2与渐近线垂直的直线方程为y(xc),可解得点H的坐标为,则F2H的中点M的坐标为,代入双曲线方程1可得1,整理得c22a2,即可得e.3已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线均
3、和圆C:x2y26x50相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为_答案1解析双曲线1的渐近线方程为yx,圆C的标准方程为(x3)2y24,圆心为C(3,0)又渐近线方程与圆C相切,即直线bxay0与圆C相切,2,5b24a2.又1的右焦点F2(,0)为圆心C(3,0),a2b29.由得a25,b24.双曲线的标准方程为1.4已知双曲线1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),若双曲线上存在点P使,则该双曲线的离心率的取值范围是_答案(1,1)解析根据正弦定理得,由,可得,即e,所以PF1ePF2.因为e1,所以PF1PF2,点P在双曲线的右支上又PF1PF2ePF2PF2PF2(e1)2a,解得PF2.因为PF2ca(不等式两边不能取等号,否则题中的分式中的分母为0,无意义),所以ca,即e1,即(e1)22,解得e1,所以e(1,1)5(2014湖北)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_答案解析设PF1r1,PF2r2(r1r2),F1F22c,椭圆长半轴长为a1
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