考研数学三特征值与特征向量

1、考研数学三特征值与特征向量1. 【单项选择题】B的特征值是A. 1，-1，4.B. 1，1，-4.C. 1，2，-2.D. 1，-1，2. 正确答案：C参考解析：2. 【单项选择题】下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是A. B. C. D. 正确答案：D参考解析：(A)是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化(B)是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化知齐次方程组(OEA)x=0的基础解系有31=2个线性无关的解向量，即=0有两个线性无关的特征向量从而矩阵必可以相似对角化(D)是上三角矩阵，主对角线上的元素2，-12就是矩阵的特征值，对于二重特征值=3. 【单项选择题】A. B. C. D. 正确答案：D参考解析：4. 【单项选择题】A. B. C. D. 正确答案：B参考解析：5. 【单项选择题】设A是n阶实对称矩阵，将A的第i列和第j列对换得到B，再将B的第i行和第j行对换得到C，则A与CA. 等价但不相似.B. 合同但不相似.C. 相似但不合同.D. 等价、合同且相似. 正确答案：D参考解析：6. 【单项选择题】设A，B均为

2、n阶实对称矩阵，若A与B合同，则A. A与B有相同的特征值.B. A与B有相同的秩.C. A与B有相同的特征向量.D. A与B有相同的行列式. 正确答案：B参考解析：7. 【单项选择题】 A. B. C. D. 正确答案：B参考解析：8. 【单项选择题】 设4阶实对称矩阵A的特征值为0，1，2，3，则r(A)=().A. 1B. 2C. 3D. 4 正确答案：C参考解析：因实对称矩阵必相似于由特征值组成的对角矩阵，即diag(0，1，2，3)，且有相同的秩，即r(A)=r(diag(0，1，2，3)=39. 【单项选择题】 A. A与C相似，B与C不相似B. A与C相似，B与C相似C. A与C不相似，B与C相似D. A与C不相似，B与C不相似 正确答案：A参考解析：判别A，B与对角矩阵c是否相似，利用矩阵相似于对角矩阵的充分条件或充要条件10. 【单项选择题】 下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是().A. B. C. D. 正确答案：D参考解析：11. 【单项选择题】设矩阵A与B相似，则必有().A. 矩阵E-A与E-B相等B. A，B同时可逆或不可逆C. A和B有相同的特征向量D.

3、A和B均与同一个对角矩阵相似 正确答案：B参考解析：由AB，则|A|=|B|，故|A|=|B|0或|A|=|B|=0，即A，B同时可逆或不可逆12. 【单项选择题】设A为3阶方阵，A的三个特征值为1，1，2，1，2，3分别为对应的三个特征向量，则().A. 1，2，3必为2E-A的特征向量B. 1+3必为2E-A的特征向量C. 1-2必为2E-A的特征向量D. 1，2必为2E-A的特征向量3不是2E-A的特征向量 正确答案：A参考解析：A为抽象矩阵，用定义验证13. 【单项选择题】 设A，B是n阶可逆矩阵，且A-1B-1，则下列结果ABBAABA2B2ATBT中正确的个数为().A. 1B. 2C. 3D. 4 正确答案：D参考解析：利用矩阵相似的定义由BA=EBA=A-1ABA=A-1(AB)A，知ABBA14. 【单项选择题】 满足().A. r1r2r3B. r2r3r1C. r3r1r2D. r1r3r2 正确答案：D参考解析：由于A是实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵又15. 【单项选择题】 A. B. C. D. 正确答案：C参考解析：16. 【单项选择题】 A. B. C.

4、 D. 正确答案：A参考解析：17. 【单项选择题】已知A是行阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是A. ATB. A2C. A-1D. A-E 正确答案：A参考解析：18. 【单项选择题】A. a=-2，b=6B. a=2，b=-6C. a=2，b=6D. a=-2，b=-6 正确答案：A参考解析：设a是矩阵A属于特征值的特征向量，按定义有19. 【单项选择题】设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次为1，2，3，若P=1，23，-2，则P-1AP=A. B. C. D. 正确答案：A参考解析：19. 【单项选择题】设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次为1，2，3，若P=1，23，-2，则P-1AP=A. B. C. D. 正确答案：A参考解析：20. 【单项选择题】设A是三阶矩阵，特征值是2，2，-51，2是A关于=2的线性无关的特征向量，A. 2，-1，3B. 1+2，51，23C. 1+2，1-2，3D. 1+2，2+3，3 正确答案：D参考解析：21. 【单项选择题】下列矩阵中，A和B相似的是A. B. C. D. 正确答案：B参考解

5、析：22. 【单项选择题】设三阶矩阵A的特征值为1=-1，2=0，3=1，则下列结论不正确的是()A. 矩阵A不可逆B. 矩阵A的迹为零C. 特征值-1，1对应的特征向量正交D. 方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量 正确答案：C参考解析：由1=-1，2=0，3=1得|A|=0，则r(A)3，即A不可逆，(A)正确；又1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，所以选(C)23. 【单项选择题】设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则()A. A的n个特征值都是单值B. A是可逆矩阵C. A存在n个线性无关的特征向量D. A一定为n阶实对称矩阵 正确答案：C参考解析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充

6、分条件，也非其可对角化的必要条件，C正确。24. 【单项选择题】设A，B为n阶可逆矩阵，则()A. 存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵B. 存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵C. 存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵D. 存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B 正确答案：D参考解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选(D)25. 【单项选择题】设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则()A. A，B合同B. A，B相似C. 方程组AX=0与BX=0同解D. r(A)=r(B) 正确答案：D参考解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D)26. 【单项选择题】A. B. C. D. 正确答案：D参考解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵的特征值与A的特征值相同且可以对角化，所以选(D)27. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：-1，

7、-1，-1【解析】由特征多项式28. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】29. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：-1【解析】30. 【填空题】设n阶方阵B=AA*，则B的特征值为_，特征向量为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：|A|【解析】所有n维非零列向量由|E-B|=|E-AA*|=|E|-|A|E|=|(-|A|)E|，知B的特征值为=|A|由(|A|EB)x=(|A|E|A|E)x=Ox=0，可知所有行维非零列向量均为特征向量31. 【填空题】设方阵A满足A2+2A+E=0。则A有特征值_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：-1【解析】设是A的任一个特征值，0为对应的特征向量，则A，故(A2+2A+E)=A2+2A+=2+2+=(2+2+1)=0，由0知2+2+1=0，故=-132. 【填空题】设3阶矩阵A的特征值为0，1，2B=A3-2A2，则r(B)=_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了

8、正确答案：参考解析：1【解析】由已知，A有3个不同特征值，故A必相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，使得33. 【填空题】设A是3阶方阵，为3维列向量，P=(，A，A2)为可逆矩阵，B=P-1AP，且A3+2A2=3A，则|A+E|=_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：-4【解析】34. 【填空题】设A33是秩为l的实对称矩阵，1=2是A的一个特征值，对应的特征向量为1=(-1，1，1)T，则方程组Ax=0的基础解系为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】35. 【填空题】设A是三阶矩阵，特征值是1，2，-1，若B=A2+2A+3E，则|B|=_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：132【解析】36. 【填空题】已知A=T，其中=(1，0，2)T，则矩阵A的特征值_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：5，0，0【解析】37. 【填空题】阵A中对应的特征值是_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】设是矩阵A-1属于特征值0的特征向量，按定义有A-1=0，于是=0A即

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