2023年全国高中数学联合竞赛加试(A)卷参考答案及评分标准
5页1、 1 2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨暨 2023 年年全国高中数学联合竞赛全国高中数学联合竞赛 加试(加试(A 卷)参考答案及评分标准卷)参考答案及评分标准 说明:说明:1评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分 2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,参考本评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不得增加其他中间档次分为一个档次,不得增加其他中间档次 一一(本题满分(本题满分 40 分)分)如图,是以AB为直径的固定的半圆弧,是经过点A及上另一个定点T的定圆,且的圆心位于ABT内设P是的弧TB(不含端点)上的动点,,C D是上的两个动点,满足:C在线段AP上,,C D位于直线AB的异侧,且CDAB记CDP的外心为K证明:(1)点K在TDP的外接圆上;(2)K为定点 PDABTC 证明证明:(1)易知PCD为钝角,由K为CDP的外心知 2(180)2P
2、KDPCDACD 由于90APB,CDAB,故PBAACDATD10 分 所以2180PTDPKDPTAATDACDPTAPBA 又,K T位于PD异侧,因此点K在TDP的外接圆上 20 分(2)取的圆心O,过点O作AB的平行线l,则l为CD的中垂线,点K在直线l上 30 分 由,T D P K共圆及KDKP,可知K在DTP的平分线上,而 9090DTBATDPBAPABPTB,故TB为DTP的平分线所以点K在直线TB上 显然l与TB相交,且l与TB均为定直线,故K为定点 40 分 lDPOKBATC 2 二二(本题满分(本题满分 40 分)分)正整数n称为“好数”,如果对任意不同于n的正整数m,均有2222nmnm,这里,x表示实数x的小数部分 证明:存在无穷多个两两互素的合数均为好数 证明证明:引理:设n是正奇数,且2模n的阶为偶数,则n是好数 引理的证明:反证法假设n不是好数,则存在异于n的正整数m,使得2222nmnm因此22nn与22mm写成既约分数后的分母相同由n为奇数知22nn是既约分数,故2m的最大奇因子为2n,从而m的最大奇因子为n 设2tmn,其中t为正整数(从而m
3、是偶数)于是22222mmtmn 由22222mtnnn可得2222(mod)mtnn,故 222(mod)mtnn (*)设2模n的阶为偶数d由(*)及阶的基本性质得2(mod)mtnd,故2mtn是偶数但2mt是偶数,n是奇数,矛盾引理得证 20分 回到原问题 设221(1,2,)kkFk由于1221kkF,而kF221k,因此2模kF的阶为12k,是一个偶数 对正整数l,由221(mod)lkF可知21(mod)lkF,故由阶的性质推出,2模2kF的阶被2模kF的阶整除,从而也是偶数因2kF是奇数,由引理知2kF是好数 30分 对任意正整数,()i j ij,211(,)(,(21)2)(,2)1iijiiijiF FFFFFF,故123,F F F 两两互素所以222123,FFF 是两两互素的合数,且均为好数 40分 三三(本题满分(本题满分 50 分)分)求具有下述性质的最小正整数k:若将1,2,k中的每个数任意染为红色或者蓝色,则或者存在9个互不相同的红色的数129,x xx满足1289xxxx,或者存在10个互不相同的蓝色的数1210,yyy满足12910yyyy 解解
4、:所求的最小正整数为408 一方面,若407k 时,将1,55,56,407染为红色,2,3,54染为蓝色,此时最小的8个红数之和为1 55 5661407,最小的9个蓝数之和为2 31054,故不存在满足要求的9个红数或者10个蓝数 对407k,可在上述例子中删去大于k的数,则得到不符合要求的例子 因此407k 不满足要求 10 分 另一方面,我们证明408k 具有题述性质 反证法假设存在一种1,2,408的染色方法不满足要求,设R是所有红数的集 3 合,B是所有蓝数的集合将R中的元素从小到大依次记为12,mr rr,B中的元素从小到大依次记为12,nb bb,408mn对于R,或者8R,或者128mrrrr;对于B,或者9B,或者129nbbbb 在1,2,16中至少有9个蓝色的数或至少有8个红色的数 情形 1:1,2,16中至少有9个蓝色的数 此时916b 设区间91,b中共有t个R中的元素12,(08)tr rrt 记12txrrr,则11 2(1)2xtt t 因为12912,tb bb r rr是91,b中的所有正整数,故 12912,1,2,9tb bb r rrt 于是
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