2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛甘肃赛区预赛试题+答案
12页1、第 1页,共 3页-密封线之内不能答题-GS31415926中南传媒湖南新教材杯2023年年全全国国中中学学生生数数学学奥奥林林匹匹克克竞竞赛赛(甘甘肃肃赛赛区区预预赛赛)试试题题(考考试试时时间间:2023 年年 6 月月 11 日日 9:0011:30,满满分分 150 分分)题号一111213141516总分得分评分人复核人一一、填填空空题题(共共 1 10 0 小小题题,每每小小题题 7 7 分分,满满分分 7 70 0 分分.请请直直接接将将答答案案写写在在题题中中的的横横线线上上)1.已知123zzz,为复数,且满足1212=|1zzzz,则12|zz.2.设集合2320(Ax axxaa为非零实数),225420Bxxx,若ABA,则 a 的取值范围是.3.在ABC中,已知23AB ACBA BCCA CBuuu r uuu ruur uuu ruur uur,则cosC的最小值是.4.袋中装有 m 个红球和 n 个白球,mn4.现从中任取两个球,若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系 m+n40 的数组(m,n)的个数为.5.已知各项均为整数
2、的数列 na满足31a ,74a,前6项依次成等差数列,从第5项起依次成等比数列若正整数m使得1212mmmmmmaaaa aa,则 m=.6.已知点 P 为直线42yx上一动点,过点 P 作椭圆4422yx的两条切线,切点为 A、B,当点 P 运动时,直线 AB 过定点的坐标为7.已知函数2(xf xx e)与()2xg xxea的图象有且只有三个交点,则实数a的取值范围为_.8.已知0.110.1,ln0.9,9aebc=-则a,b,c的大小关系是.9.正四面体ABCD的底面BCD中心为1OAB,以OA为旋转轴将正四面体旋转090,则得到的四面体与原正四面体重合部分的体积为.10.从1,2,3,20中取 k 个不同的数构成集合 M,使得集合 M 中一定有4个不同的数 a,b,c,d 满足abcd能被20整除,则 k 的最小值为年 级市(县)准考证号学 校姓 名性 别年 级第 2页,共 3页二、解答题(共 6 小题,满分 80 分.要求写出解题过程)二、解答题(共 6 小题,满分 80 分.要求写出解题过程)11.(13 分)已知ABC的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且
3、3 cossin2ABbcB(1)求C的大小;(2)若3abc,求sin A12.(13 分)如图,已知长方形ABCD中,21ABAD,,M为DC的中点.将ADM沿AM折起,使得平面ADM 平面ABCM.(1)求证:ADBM;(2)若点E是线段DB上的一动点,问点E在何位置时,二面角EAMD的余弦值为5513.(13 分)已知数列na中,12a,且21()2nnnaanNa证明:(1)212nna;(2)12122244222nnnaaaaaa第 3页,共 3页14.(13 分)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名,其过程具备“无记忆”的性质,即第1n次状态的概率分布只跟第n次的状态有关,与第1n,2n,3n,次状态是“没有任何关系的”现有甲、乙两个盒子,盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球从两个盒子中各任取一个球交换,重复进行n(nN)次操作后,记甲盒子中黑球个数为nX,甲盒中恰有1个黑球的概率为na,恰有2个黑球的概率为nb(1)求1X的分布列;(2)求数列na的通项公式;(3)求nX的数学期望.15.(13 分)已知点F是抛物线2:4C xy与椭圆22221(
4、0)yxabab的公共焦点,椭圆上的点M到点F的最大距离为3(1)求椭圆的方程;(2)过点M作C的两条切线,记切点分别为,A B,求MAB面积的最大值.16.(15 分)已知函数()(2e)lnf xxx,其中e2.71828为自然对数的底数.(1)讨论函数()f x的单调性;(2)若12,x x(0,1),且21121212lnln2e(lnln)xxxxx xxx,证明:12112e2e 1xx第 1页,共 9页2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(甘肃赛区预赛)试卷年全国中学生数学奥林匹克竞赛(甘肃赛区预赛)试卷参考答案及评分标准一、填空题(共 10 小题,每小题 7 分,满分 70 分。请直接将答案写在题中的横线上)参考答案及评分标准一、填空题(共 10 小题,每小题 7 分,满分 70 分。请直接将答案写在题中的横线上)题号12345答案3942,)1741(-U2331 或 3题号678910答案1(1,)2202(12)eacab62127二、解答题(共 6 小题,满分 80 分。要求写出解题过程)二、解答题(共 6 小题,满分 80 分。要求写出解题过程)11.(13
5、分)已知ABC的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且3 cossin2ABbcB(1)求C的大小;(2)若3abc,求sin A【解】:(1)由正弦定理知3sincossinsin2ABBCB,因为有sin0B,所以3cossin.2ABC因为coscos()sin2222ABCC,所以3sin2sincos222CCC,因为sin02C,所以3cos22C,因为(0,)C,所以26C,从而.3C 6 分(2)因为3C,由余弦定理得222,cabab将3()3cab代入上式得2221()3ababab,整理得222520aabb,解得2ab或2.ba第 2页,共 9页当2ab时,3cb,所以222222234cos022 3bcabbbAbcb,因为(0,)A,所以2A.当2ba时,3ca,所以2222222433cos224 3bcaaaaAbca,因为(0,)A,所以6A.所以1sin2A 或1.13 分12.(13 分)如图,已知长方形ABCD中,21ABAD,,M为DC的中点.将ADM沿AM折起,使得平面ADM 平面ABCM.(1)求证:ADBM;(2)若点E是线段D
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