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专题17 【大题限时练十七】-高考数学满分限时题集（解析版）

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1、专题17 大题限时练十七1已知数列中，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1），数列是以2为公比的等比数列，（2）由（1）知，数列是等比数列，且，首项为，数列的前项和2在锐角中，内角，的对边分别是，且满足（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2），【详解】（1）由，可得，化为，则，由，可得；（2）由，可得，因为为锐角三角形，所以，即为，解得，则的取值范围是，3“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：周末体育锻炼时间，频率0.10.20.30.150.150.1（）估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻时间在，内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在，内的人数为，求的分布列以及数学期望【答案】见解析【详解】由表中数据可得，故这600名学生周末体育锻炼时间的平均数为由题意可得，15人中锻炼时间在，的人数为人，在

2、，的人数为人，则所有可能取值为0，1，2，3，故的分布列为：0123故4如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，分别是对角线，上异于端点的动点，且（1）求证：直线平面；（2）当的长最小时，求二面角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：过作与交于点，过作与交于点，连接由已知条件，可知矩形与矩形全等，又，则四边形为平行四边形，所以，不在平面内，平面，平面（2）解：由平面平面，平面平面，又平面，平面以为原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，过点作，垂足为，连接，易知，设，可得，可知当时，长最小值为此时，又，0，2，设平面的法向量为，由可得，令，可得，设平面的法向量为，由可得，令，可得，则二面角的正弦值为5已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为，的面积为1（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与交于，两点过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，是否存在直线使得的面积等于，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）由题意知，因为的面积为1，所以又直线的方程，即，因为点到直线的距离为，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）依题意

3、，当直线斜率为0时，不符合题意；当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立，得，易知设，则，因为轴，轴，所以，所以直线，直线，联立解得，因为，与直线平行，所以，因为，所以，由，得，解得，故存在直线的方程为或，使得的面积等于6已知函数在点处的切线方程为（1）求函数在上的单调区间；（2）当时，是否存在实数使得恒成立，若存在，求实数的取值集合，若不存在，说明理由（附，【答案】（1）在，上单调递增，在，上单调递减；（2）见解析【详解】（1）由题意知，即，得，因为，所以，得，所以，当时，令，得，令，得，当时，令，得，令，得，所以在，上单调递增，在，上单调递减（2）假设存在实数，使得在，上恒成立，即在，上恒成立，令，只需，又，所以若在，上恒成立，必为的最大值点，从而为的极大值点，必有，由，得，解得，下面证明符合题意，当时，令，则，当，时，所以在，上单调递增，当，时，所以单调递减，所以当，时，所以在，上单调递增，由在，和，上单调递增得，在，上单调递增当，时，令，由，得，在，上单调递增，因为，所以由零点存在定理知存在，使得，当，时，即，单调递减，即单调递减，当，时，即，单调递增，即单调递增，因为，所以由零点的存在定理得，存在，使得，当，时，单调递减，当，时，单调递增，又，综上所述，符合题意，综上所述，的取值集合为

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