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【高考数学易错专练】知识点平面向量的数量积易错点4混淆向量夹角的余弦值与角的关系致错（解析版）

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知识点平面向量的数量积易错点4 混淆向量夹角的余弦值与角的关系致错【易错诠释】，不一定得到，但可以得到是向量与平行的充分而不必要条件，当为锐角时，且，不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，且，不反向，是为钝角的必要非充分条件【典例】已知两向量，满足，所成角为60，若向量，与向量所成的角为钝角，求实数t的取值范围易错分析：两个向量所成角范围是，两个向量所成的角为钝角，容易误认为两向量所成角为时，所成的角也是钝角，导致所求的结果范围扩大正解：设向量与向量的夹角为，由为钝角，知，故，解得若向量与向量反向，则，从而且，解得即当时，两向量所成的角为所以t的取值范围是【针对训练】1. 若，ABC为锐角，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【分析】利用向量的运算，求出，再利用向量的数量积公式，得到且不同向，进而可求解.【详解】由已知得，所以，且不共线同向，即且，所以，且，故.故选：C2. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果.【详解】若为非零向量，且存在负数，使得，则共线且方向相反，充分性成立；当时，的夹角可能为钝角，此时不存在复数，使得，必要性不成立；“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件.故选：A.3. 已知向量，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【分析】根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得或，当与共线时，，，此时和反向，不满足题意，故x的范围为；故选：D.4. 已知，为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【分析】利用向量数量积的运算律可得，再由向量数量积的定义及夹角为锐角，列不等式求的范围，注意排除夹角为时的值.【详解】因为，为互相垂直的单位向量，所以，由题设，则，则，所以，即.当，可得，此时与的夹角为，不为锐角，综上，的范围为.故选：C.

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