2022年全国高中数学联赛福建赛区预赛含解析答案
8页1、322022年全国高中数学联赛福建赛区预赛一、填空题(每小题6 分,共6 0 分)1.已知复数z1、32 在复平面上对应的点分别是A、B,且1z,1=2,z-2z,2+4z2=0,0是坐标原点.则OAB的周长是2.已知函数f(x)=1og。在ax一+22区间2,3 上恒正.则实数的取值范围是3.如图1,点M、N分别在ABC的边AB、A C 上,且AM=xAB,AN=yAC,D 是线段BC的中点,G是线段MN与AD的交点.若AAD一541则的最小值是+24.如图2,P是长方体 ABCD-A,B,C,D,的对角线BD,上一点,平面APC/平面DA,Ci.若 AA,=2AD,则二面角 P-AB-C的正切值是5.已知各项均为正数的等比数列(a,中,a=2,ag+a1o=16(a4+ag).数列(bn满足:对任意正整数几,有a,b+azb2+.+anb,=(n-1)2n+1+2.6b2则一+a2a6.从1,2,11这11个正整数中任意ANMBDC图1DPB图2抽取3个不同的正整数a、b、c.乘积abc能被4整除的概率是7.已知双曲线1(a0,b6250)的离心率为,F、F2 分别为的左、右2焦点
2、.过点F2的直线I交于A、B两点(点A在第一象限),且AF,=3F,B.若F,AB的32面积是则F,AB内切圆半径是38.已知、E(0,元),且+2=元.则cos+cos+sin2的最大值是9.92022的末三位数是10.已知A1,A2,A,是集合A=1,2,,10 的n个非空子集.若对于任意的i、jE1,2,n,均有A,UA,A,则n的最大值是二、解答题(每小题2 0 分,共10 0 分)11.如果对任意的整数、y,不等式4x2+y2+1kx(y+1)1恒成立,求最大常数k.212.已知椭圆::1(ab0)的离心率为AI、A,分别为的左、右顶2点,F、F2 分别为的左、右焦点,B为的上顶点,且BA,F,的外接圆半径为2213(1)求椭圆厂的方程。(2)设与x不垂直的直线l交于P、Q两点(P、Q在轴的两侧),记直线A,P、P A 2、A,Q、Q A,的斜率分别为ki、k 2、k 3、k g.已知2022年第12 期335ki+k4=(kz+k),求F,PQ面积的取值3范围13.如图3,Gi、G,分别为ABC、A CD的重心,AG,C的外接圆与直线BD交于点P,且/G,AG,=/AG,C
3、=90,证明:APD=L CPGI.CCGDBA图3114.已知函数f(x)=xlnx+2x(a0).3(1)若f()1恒成立,求的最小值;(2)若f(x)存在最大值,求的取值范围.15.某校数学兴趣小组有14位同学,他们组成了n个不同的课题组每个课题组有6位同学,每位同学至少参加2 个课题组,且任意两个课题组至多有2 位共同的同学.求几的最大值参考答案一、1.3+/3.由 2 -2 2/2 2 +42 2 =02-2.+4=0Z222=1/3i22 z1=(1 /3 i)2,1z/=I(1 /3 i)z2 I=2 1z2 1.又1z,1=2,则1z21=1,1z1-2 I=1(1 /3 i)2-z2 I=/31z21=/3.从而,0 AB的周长是3+/3.2.(43)(*)11设g(x)=2a2一+213由 g(2)=2a-2+423当且2 x0.4311故时,2在区间ax14一+222,3上单调递增.3若a0,f(x)0 台g(3)1,则xE2,3时,f(x)0 g(2)1.5因此,4综上,(3)(号+8)8539依题意有333(AB+ACAD5521AM+一AN)31033AN.
4、AM10 x10y由M、G、N三点共线3310 x10y10113由于点M、N分别在ABC的边AB、A C上,从而,xE0,1,yE0,1.77故一1,33中等数学34于足,1 1.31记=41021+则+4t23201002280=5t253939280注意到,函数(L)=5(t-2)在E9内单调递增,从而,802285(t),=51+in9min394851因此,的最小值为,最小值在+9X3,=1时取得4.2.如图4,设0 1、0分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点.因为平面APC/平面DA,C,平面 D,DBB,与平面APC交于OP,平面 D,DBB,与平面DA,C,交于 DO1,所以,OP/DOT.又OB,/DO1,则0、P、B三点共线.设Q为DO,与D,B的交点.则Q为D,P的中点,P为QB的中点,从-BD而,BP=3作PH工DB于点H,HR工AB于点R.则PH平面ABCD,PRAB,/PRH为二面角P-AB-C的平面角.由 AA,=2AD,BP:BD3D0一AB一1PDXCHRAB图4DD,2PH:-AD,RHAD333PH tan L PRH2HR二面角P-AB-C的正
5、切值为2.5.2_+22设ia,的公比为q.由 ag+a1o=16(a4+ag)=q(a4+ag)=16(a4+ag).结合an0,得q4=16,q=2.又 a1=2,则a,=2.由式知当n=1时,a,b,=2,b,=1.当n2时,a,b,=(n-1)2+I+2)-(n-2)2+2)=2”.于是,b,=n.因此,对一切正整数n,b,=n.6,设S,=+一+2213则S,=222223213S2十232+1111一十22+1222+2=1一12+2”+2 S,=2 _+22”20633考虑abc能被4整除的取法.由abc能被4整除知a、b、c 中至少有1个数为偶数.若、b、c 中恰有1个偶数2 个奇数,则2022年第12 期35偶数须为4或8,不同的取法有C,C=30种.若、b、c 中恰有2 个偶数1个奇数,则不同的取法有 C?C=60 种.若、b、c 均为偶数,则不同的取法有Cs=10种.故使abc能被4整除的不同取法有30+60+10=100 种.10020因此,abc能被4整除的概率为33117.1.如图5,设1BF21=t,则IAF,l=3t,IF,Al=2a+3t,IF,Bl=
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