建筑力学第13章超静定结构的内力和位移

第十二章第十二章建筑力学建筑力学第三第三节 力法力法计算超静定算超静定结构示例构示例第二第二节 力法原理和力法方程力法原理和力法方程超静定超静定结构的内力和位移构的内力和位移第四第四节 超静定超静定结构内力构内力图的校核的校核第五第五节 位移法位移法第六第六节 位移法位移法计算示例算示例第一第一节 超静定超静定结构的概念和超静定次数构的概念和超静定次数一、超静定一、超静定结构的概念构的概念第一第一节 超静定超静定结构的概念和超静定次数构的概念和超静定次数从几何从几何组成分析的角度来成分析的角度来讲，超静定，超静定结构是指具有多余构是指具有多余约束的几何不可束的几何不可变体系，体系，这就决定了超静定就决定了超静定结构的基本静力特性：在外力作用下，超静定构的基本静力特性：在外力作用下，超静定结构的支座反力和内力只用静力平衡条件是不能确定或不能全部确定的。构的支座反力和内力只用静力平衡条件是不能确定或不能全部确定的。这是由于是由于该结构存在一个构存在一个竖向的多余向的多余约束，束，满足两个方程的三个足两个方程的三个竖向向反力反力值可以有无可以有无穷多多组。而在。而在实际情况下，当荷情况下，当荷载给定定时，连续梁的支座梁的支座反力必定是唯一的，因此必反力必定是唯一的，因此必须引入其他条件，才能确定引入其他条件，才能确定结构的全部支座反构的全部支座反力并力并进而确定而确定结构的内力。构的内力。超静定超静定结构中多余构中多余约束的束的选取方案不是唯一的，某个取方案不是唯一的，某个约束能不能被束能不能被视为是多余的，要看它是否是多余的，要看它是否为结构构维持几何不持几何不变所必需。例如，所必需。例如，图（a）中的）中的连续梁，其支座梁，其支座A，B，C处的任意一根的任意一根竖向向链杆都可以被杆都可以被视为多余多余约束（而支座束（而支座A处的水平的水平链杆是杆是维持体系几何不持体系几何不变所必需的所必需的约束，称其束，称其为必要必要约束）；同束）；同理，在理，在图（b）所示的桁架中，可以将支座）所示的桁架中，可以将支座F处的的竖向向链杆以及杆以及BE，BG杆件杆件看作多余看作多余约束，也可以将束，也可以将D支座支座处的的链杆以及杆以及AF，CF杆件看作多余杆件看作多余约束。此束。此外，外，还有其他多种有其他多种选择多余多余约束的方案，束的方案，读者可自己考者可自己考虑。（a）超静定梁）超静定梁 （b）超静定桁架）超静定桁架对于一个超静定于一个超静定结构而言，多余构而言，多余约束的束的选取取虽具有不定性，但多余具有不定性，但多余约束的束的总数目却是一定的，前面数目却是一定的，前面讨论的超静定梁和超静定桁架的多余的超静定梁和超静定桁架的多余约束束总数目分数目分别为1和和3。多余。多余约束中束中产生的生的约束力称束力称为多余未知力。多余未知力。二、超静定次数的确定二、超静定次数的确定从几何从几何组成分析的角度成分析的角度讲，结构的超静定次数是指构的超静定次数是指结构中多余构中多余约束的数束的数目。从静力分析的角度目。从静力分析的角度讲，结构的超静定次数等于构的超静定次数等于计算算约束反力束反力时所缺少的所缺少的平衡方程的个数。判断平衡方程的个数。判断结构的超静定次数可以用去掉多余构的超静定次数可以用去掉多余约束使原束使原结构构变为静定静定结构的方法构的方法进行。去掉多余行。去掉多余约束的方法束的方法归纳起来主要有以下几种：起来主要有以下几种：去掉一个支杆或切断一根去掉一个支杆或切断一根结构内部的构内部的链杆，相当于去掉一个杆，相当于去掉一个约束。束。例如，例如，图（a）为一多跨超静定一多跨超静定连续梁，去掉梁，去掉B，C支座支座处的的竖向支杆后，向支杆后，结构成构成为简支梁（支梁（图（b），所以原），所以原结构的超静定次数构的超静定次数为2；图（c）中的）中的超静定超静定组合合结构，当切断构，当切断EF链杆后成杆后成为静定静定组合合结构（构（图（d），所以），所以原原结构超静定次数构超静定次数为1。（a）超静定）超静定连续梁梁 （b）简支梁支梁（c）超静定）超静定组合合结构构 （d）静定）静定组合合结构构 去掉一个固定去掉一个固定铰支座或一个支座或一个连接两接两刚片的片的单铰，相当于去掉两个，相当于去掉两个约束。例如，束。例如，图（a）中的超静定）中的超静定刚架架结构，当去掉构，当去掉C处的固定的固定单铰后原后原结构构成成为两个静定的两个静定的悬臂臂刚架（架（图（b），所以原），所以原结构超静定次数构超静定次数为2。（a）超静定）超静定刚架架 （b）静定）静定刚架架 将固定支座改成固定将固定支座改成固定铰支座，或将杆件支座，或将杆件间的的刚性性联结改成改成单铰联结，相当于去掉一个，相当于去掉一个约束。例如，束。例如，图（a）中的多跨）中的多跨连续梁，当将梁，当将结点点B处的的刚性性联结改改为单铰联结后，后，结构成构成为两跨静定梁（两跨静定梁（图（b），所），所以原以原结构超静定次数构超静定次数为1。（a）超静定梁）超静定梁 （b）静定梁）静定梁 去掉一个固定支座或切断一个去掉一个固定支座或切断一个刚性性联结，相当于去掉，相当于去掉3个个约束。例束。例如，如，图（a）中的超静定拱，当将跨中）中的超静定拱，当将跨中处的的刚性性联结切断后，切断后，结构成构成为两两个静定的个静定的悬臂曲梁（臂曲梁（图（b），所以原），所以原结构超静定次数构超静定次数为3。（a）超静定拱）超静定拱 （b）静定）静定悬臂曲梁臂曲梁【例【例12-1】试确定确定图中中刚架的超静定次数。架的超静定次数。【解】【解】先将左先将左边主主刚架与基架与基础看成一个整体，右看成一个整体，右边刚架与左架与左边整体通整体通过一个一个铰和一个固定支座和一个固定支座联结，有两个多余，有两个多余约束，将固定支座改束，将固定支座改为活活动铰支座相当于撤除两个支座相当于撤除两个约束。束。再分析主跨部分，将横梁再分析主跨部分，将横梁BD切断相当于撤除切断相当于撤除3个个约束；再解除束；再解除点点C处的的单铰，相当于撤除，相当于撤除2个个约束。束。这样，原，原结构就成构就成为图中没有中没有多余多余约束的几何不束的几何不变体系。根据以上分析可知，体系。根据以上分析可知，该刚架超静定次数架超静定次数为7。第二第二节 力法原理和力法方程力法原理和力法方程一、力法原理一、力法原理力法是一种用于超静定力法是一种用于超静定结构受力分析的基本方法。构受力分析的基本方法。图为一端固定、另一端固定、另一端一端为活活动铰支座的支座的1次超静定梁，跨中受集中荷次超静定梁，跨中受集中荷载FP作用，梁的抗弯作用，梁的抗弯刚度度EI为常数。常数。如果将支座如果将支座B处的的竖向向链杆撤除，用原支座中的反力杆撤除，用原支座中的反力FBy替代，如替代，如图（b）所示，）所示，则原来的超静定梁便原来的超静定梁便转化化为静定的静定的悬臂梁。而且臂梁。而且悬臂梁在荷臂梁在荷载FP与反力与反力FBy共同作用下的其余支座反力的大小以及内力和共同作用下的其余支座反力的大小以及内力和变形情况形情况应该与原超静定梁完全相同。与原超静定梁完全相同。这样，原超静定，原超静定结构的受力分析构的受力分析问题便可便可以以转化化为相相应的静定的静定结构的受力分析构的受力分析问题，只是，只是还需要确定需要确定FBy的的值。因。因此，此，问题的关的关键在于如何确定在于如何确定FBy。如果将支座。如果将支座B视作多余作多余约束，束，则FBy即即为多余未知力，在力法中用特定的符号多余未知力，在力法中用特定的符号X1来表示来表示该多余未知力（多余未知力（图（e）。多余力）。多余力X1称称为力法的基本未知量。将原超静定力法的基本未知量。将原超静定结构中去掉多余构中去掉多余约束后所得到的静定束后所得到的静定结构称构称为力法的基本力法的基本结构（构（图（c）。基本）。基本结构在构在原有荷原有荷载和多余未知力共同作用下的体系称和多余未知力共同作用下的体系称为力法的基本体系（力法的基本体系（图（d）。（a）原）原结构构 （b）静定）静定悬臂梁臂梁（c）基本）基本结构构 （d）基本体系）基本体系（e）基本）基本结构受构受X1作用作用 （f）基本）基本结构受构受Fp作用作用（i）基本）基本结构受构受MP图 （j）原）原结构构M图式（式（12-1）即）即为确定未知力确定未知力X1的的补充条件，它表示基本体系的充条件，它表示基本体系的变形与原形与原结构相同，故称构相同，故称为变形形协调条件。条件。（12-1）因而可得因而可得（12-2）（12-3）（12-4）式（式（12-4）就是根据原）就是根据原结构的构的变形形协调条件建立的用来确定条件建立的用来确定X1的的变形形协调方程，称方程，称为力法方程。它的一般形式是力法方程。它的一般形式是（12-5）上述上述计算超静定算超静定结构所用的概念和方法称构所用的概念和方法称为力法原理，根据力法原理力法原理，根据力法原理计算超静定算超静定结构的方法称构的方法称为力法。力法的特点是以超静定力法。力法的特点是以超静定结构的多余未知力构的多余未知力（约束反力、内力）作束反力、内力）作为基本未知量，根据基本体系在多余基本未知量，根据基本体系在多余约束束处与原与原结构构位移相同的条件，建立位移相同的条件，建立变形形协调方程（力法方程）以求解多余未知力，从而方程（力法方程）以求解多余未知力，从而把超静定把超静定结构的求解构的求解问题转化化为静定静定结构分析构分析问题。二、力法方程二、力法方程为了了进一步一步说明力法原理和演示建立力法方程的明力法原理和演示建立力法方程的过程，下面再程，下面再举些比些比较复复杂的例子。的例子。图（a）为2次超静定次超静定刚架，如果将支座架，如果将支座B看作多余看作多余约束，束，则其中的其中的约束反力束反力为多余未知力，用多余未知力，用X1和和X2表示。按照力法原理，可以去表示。按照力法原理，可以去掉多余掉多余约束，用多余力束，用多余力X1和和X2来代替它来代替它们的作用，从而得到原的作用，从而得到原结构的基本构的基本体系如体系如图（b）所示。基本体系的）所示。基本体系的变形和内力形和内力应与原与原结构的相同。构的相同。（a）原）原结构构 （b）基本体系）基本体系为了求出多余未知力，需要考察多余了求出多余未知力，需要考察多余约束束处的位移的位移协调条件：由于条件：由于原原结构在构在铰支座支座B处不可能有不可能有线位移，所以在荷位移，所以在荷载和多余未知力的共同和多余未知力的共同作用下，基本作用下，基本结构在点构在点B处沿多余力沿多余力X1和和X2方向的位移都方向的位移都应为零，即零，即式（式（12-6）就是求解多余力）就是求解多余力X1，X2时的位移条件。根据叠加原的位移条件。根据叠加原理，式（理，式（12-6）可以写成如下形式：）可以写成如下形式：（12-6）（12-7）式（式（12-8）就是）就是为求解多余未知力求解多余未知力X1和和X2而建立的力法方程，其中的系而建立的力法方程，其中的系数和自由数和自由项都是静定都是静定结构在已如外力作用下的位移，因此可按上章所介构在已如外力作用下的位移，因此可按上章所介绍的方的方法法进行行计算。由力法方程（算。由力法方程（12-8）解得）解得X1和和X2后，剩余的后，剩余的问题就是静定就是静定结构构的的计算算问题。（12-8）（c）基本）基本结构受构受X1（X1=1）作用）作用 （d）基本）基本结构受构受X2（X2=1）作用）作用（e）基本）基本结构受外荷构受外荷载作用作用图（a）为无无铰拱拱结构，它是构，它是3次超静定次超静定结构，将拱的构，将拱的顶部切开，相当部切开，相当于去掉于去掉3个多余个多余约束，用多余力束，用多余力X1，X2，X3代替多余代替多余约束的作用，得到束的作用，得到图（b）所示的基本体系。）所示的基本体系。这里去掉的是里去掉的是结构的内部构的内部约束，所以多余未知力束，所以多余未知力应成成对出出现。由于原。由于原结构的构的实际变形是形是处处连续的，同一截面的两