高斯随机过程《通信原理》

高斯随机过程 1．高斯随机过程的定义 如果随机过程ξ(t)的任意n维（n＝1，2，…）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。其n维正态概率密度函数表示为 式中：;|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即 为行列式|B|中的元素bjk的代数余因子；bjk为归一化协方差函数，即 2．高斯随机过程的重要性质 （1）高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差； （2）广义平稳的高斯过程是严平稳的； （3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j≠k有bjk＝0，那么它们也是统计独立的； （4）高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程，即若线性系统的输入为高斯过程，则系统的输出也是高斯过程。 3．高斯随机过程的随机变量 （1）一维概率密度函数 ①表达式 高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为 ②图像 图3-1 正态分布的概率密度 ③特性 a．f(x)对称于x＝a这条直线，即 f(a＋x)＝f(a－x) b．及； c．a表示分布中心，σ称为标准偏差，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。当a＝0，σ＝1时，称为标准化的正态分布。即 （2）正态分布函数 ①正态分布函数的定义 正态分布函数定义为正态分布的概率密度f(x)积分，即 ②误差函数 a．误差函数的定义 erf(x)表示误差函数，其定义为 b．误差函数的性质 erf(0)＝0，erf(∞)＝1，erf（－x）＝－erf(x)。 c．误差函数表示分布函数 ②互补误差函数 a．互补误差函数的定义 erfc(x)表示互补误差函数，其定义为 b．互补误差函数的性质 erfc(0)＝1，erfc(∞)＝0，erfc(－x)＝2－erfc(x)。 c．误差函数表示分布函数 正态分布函数可用互补误差函数erfc(x)表示为 d．互补误差函数的应用 当x＞a，互补误差函数与高斯概率密度函数曲线尾部下的面积成正比。