1990年全国硕士研究生考试数学(三)真题(含解析)
8页1、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)(科目代码:303)一、 填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案写在题中横线上.)(1) lim(Vz? + 3Jn .ZJf 8(2) 设函数f (je )有连续的导函数J(0) =0,/(O) =b ,若函数f f (j? ) + a sin x ,-工 0 ,F(_z)= 鼻a , z = 0在工=0处连续,则A =_.(3) 曲线丿=工2与直线y=+2所围成的平面图形的面积为_.(4) 若线性方程组X ! + X 2 = 一 a ! 9 工2+允3 =如9VJC3 + 4 = 3 9Z 4 + 工 1 =5 有解,则常数S a? ,a3 ,a4应满足的条件为_.OQ(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为穿,则该射手的命中率O 1为_.二、 选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 设函数 /(jr ) = z tan x es,n ,则/(2)是( ).(A)偶函数 (E)无界函数(C)周期函数 (
2、D)单调函数(2) 设函数/(工)对任意的Z均满足等式+)=“&),且有/(0)=6,其中a,b为非零常数,则( ).()在工=1处不可导)在工=1处可导,且/1) =a(C)y(z)在 2 = 1 处可导,且 /,(1) =b)在工=1 处可导,且 /(I) =ab1990年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页,共 8 页(3) 向量组a , ,a2,- .as线性无关的充分条件是( ).(A) ai ,a?,,a、均不为零向量(B) aj ,a2,- ,as中任意两个向量的分量不成比例(C) a! a?,,a,中任意一个向量均不能由其余s 1个向量线性表示(D) a ,a2,- ,as中有一部分向量线性无关(4) 设A,E为两个随机事件,且B UA,则下列式子正确的是( ).(A)P(A +B) =P(A) (B)P(AB) =P(A)(C)P(B | A) =P(B) (D)P(B - A) = P(B) -P(A)(5) 设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为(D)PX =Y =1厂1 1、厂1X 1 1 ,Y11 22 则下列结论正确的是().(a)x =y(B)PX =Y
3、 =0(C)PX=Y=j三、计算题(本题满分20分,每小题5分)(1)求函数Kjc )=飞 曲在e,e2 的最大值.Je r 2r + 1计算二重积分#zckdjy ,其中D是由曲线y = 4川与=在第一象限所围成的区域. D(3) 求级数工 -的收敛域.n = 1 九(4) 求微分方程yr + 3/cos x = (In工)e_sin r的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万 元)与电台广告费用工】(万元)及报纸广告费用工2(万元)之间的关系有如下经验公式:R =15 + 14工1 + 32乂2 8工1工2 2工一 10云.(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;(2) 若提供的广告费用为1. 5万元,求相应的最优广告策略.1990年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页,共 8 页五、(本题满分6分)设yCz)在闭区间:0,c连续,其导数/&)在开区间(0,c)内存在且单调减少,/(0)- 0, 试用拉格朗日中值定理证明不等式:f(a +6) 0,j/ 0, to, 其他.(1) 问X和Y是否独立?(2)
4、 求两个部件的寿命都超过100小时的概率a.十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明,考生外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分, 96分以上的占考生总数的2. 3%,试求考生的外语成绩在60分与84分之间的概率.附表表中0(工)是标准正态分布函数X00. 51. 01. 52. 02. 53. 0(工)0. 5000. 6920. 8410. 9330. 9770. 9940. 9991990年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页,共 8 页1990年数学(三)真题解析一、填空题(1)【答案】2.【解】 lim(Jn 麻) = lim - - - 丿x + 3 VTT + J n n(2)【答案】ab.【解】nmF(.) =lim2L =lim +alim = /(Q) +a = a +6,rO TO X x-*O X x-*O XF(0) = A ,由F(jc )在工=0处连续得A = a + b.9(3)【答案】 y.y = j:,【解】 由 得曲线y = x与直线y = x + 2的交点为A ( 1,1) ,B (2,4),y =工 + 2曲线夕=工2与直线,
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