1990年全国硕士研究生考试数学（三）真题（含解析）

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)(科目代码：303)一、 填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案写在题中横线上.)(1) lim(Vz? + 3Jn .ZJf 8(2) 设函数f (je )有连续的导函数J(0) =0,/(O) =b ,若函数f f (j? ) + a sin x ,-工 0 ,F(_z)= 鼻a , z = 0在工=0处连续，则A =_.(3) 曲线丿=工2与直线y=+2所围成的平面图形的面积为_.(4) 若线性方程组X ! + X 2 = 一 a ! 9 工2+允3 =如9VJC3 + 4 = 3 9Z 4 + 工 1 =5 有解，则常数S a? ,a3 ,a4应满足的条件为_.OQ(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为穿，则该射手的命中率O 1为_.二、 选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 设函数 /(jr ) = z tan x es,n ，则/(2)是( ).(A)偶函数 (E)无界函数(C)周期函数 (D)单调函数(2) 设函数/(工)对任意的Z均满足等式+)=“&),且有/(0)=6,其中a,b为非零常数，则( ).()在工=1处不可导)在工=1处可导，且/1) =a(C)y(z)在 2 = 1 处可导，且 /，(1) =b)在工=1 处可导，且 /(I) =ab1990年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 8 页(3) 向量组a , ,a2，- .as线性无关的充分条件是( ).(A) ai ,a?,，a、均不为零向量(B) aj ,a2，- ,as中任意两个向量的分量不成比例(C) a! a?,，a,中任意一个向量均不能由其余s 1个向量线性表示(D) a ,a2，- ,as中有一部分向量线性无关(4) 设A,E为两个随机事件，且B UA,则下列式子正确的是( ).(A)P(A +B) =P(A) (B)P(AB) =P(A)(C)P(B | A) =P(B) (D)P(B - A) = P(B) -P(A)(5) 设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为(D)PX =Y =1厂1 1、厂1X 1 1 ,Y11 22 则下列结论正确的是().(a)x =y(B)PX =Y =0(C)PX=Y=j三、计算题(本题满分20分，每小题5分)(1)求函数Kjc )=飞 曲在e,e2 的最大值.Je r 2r + 1计算二重积分#zckdjy ,其中D是由曲线y = 4川与=在第一象限所围成的区域. D(3) 求级数工 -的收敛域.n = 1 九(4) 求微分方程yr + 3/cos x = (In工)e_sin r的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万 元)与电台广告费用工】(万元)及报纸广告费用工2(万元)之间的关系有如下经验公式：R =15 + 14工1 + 32乂2 8工1工2 2工一 10云.(1) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1. 5万元，求相应的最优广告策略.1990年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 8 页五、(本题满分6分)设yCz)在闭区间：0,c连续，其导数/&)在开区间(0,c)内存在且单调减少,/(0)- 0, 试用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a +6) 0,j/ 0, to, 其他.（1） 问X和Y是否独立？（2） 求两个部件的寿命都超过100小时的概率a.十一、（本题满分7分）某地抽样调查结果表明，考生外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分, 96分以上的占考生总数的2. 3%,试求考生的外语成绩在60分与84分之间的概率.附表表中0（工）是标准正态分布函数X00. 51. 01. 52. 02. 53. 0（工）0. 5000. 6920. 8410. 9330. 9770. 9940. 9991990年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 8 页1990年数学（三）真题解析一、填空题（1）【答案】2.【解】 lim(Jn 麻) = lim - - - 丿x + 3 VTT + J n n(2)【答案】ab.【解】nmF(.) =lim2L =lim +alim = /(Q) +a = a +6,rO TO X x-*O X x-*O XF(0) = A ,由F(jc )在工=0处连续得A = a + b.9（3）【答案】 y.y = j:,【解】 由 得曲线y = x与直线y = x + 2的交点为A ( 1,1) ,B (2,4),y =工 + 2曲线夕=工2与直线，=工+2所围成的平面图形的面积为（4）【答案】Qi+s+s+s =0.A =J (j? + 2 - j;2 * )dj?2（5）【答案】 y.【解】 设X为四次射击中命中的次数，则X3（4）,由 PX 1 = 1-PX = 0 = l-Cjp(l-p)4 = l-(l-p)4 =鲁,2 9得P = 丁，即命中率为二、选择题（1）【答案】（B）.【解】 取无” =2 +手，显然lim） = +,所以f （jc ）为无界函数，应选（B）.4 ”f 89_ I【解】1011010055101101A =A00115()011001S ,0_ 101100一 a10110如0011a30000CL 1 +0-2 +5+ Q 4当 a】 + 02+03+5 = 0 时 r (A) = r (A )0_ Q1、j100Q100110s130011315 .0011a + a2 +，即方程组有解.第 5 页，共 8 页（2） 【答案】（D）.【 【解解 1/（1） = a/（0）,r（i）= lim/”小一心）x-0 X 工0 X=lim = = 口厂口厂（ （0） = ab,T-*O JC应选（D）.（3） 【答案】（C）.【 【解解】向量组!，,-,线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不可由其余向量线性表示, 应选（C）.（4） 【答案】（A）.【 【解解】因为BUA,所以AB = B,于是 P（A +B） = P（A） + P（B） - P（AB） = P（A）,应选（A）.（5） 【答案】（C）.【 【解解】 】 因为X,丫相互独立，所以 PX = 1,Y=1=PX = 1PY=1=+，4PX = 1,Y = 1 = PX1 PY1 = T故 PX=Y = PX = 1,Y=1 + PX = 1,Y=1 = 应选(C).In x三、【 【解解】因为“心产土冷心产土冷（ee 0且A V 0,所以当 即电台广告费为0. 75万元、报纸广告费为jc2 = 1 25,1. 25万元时，收益最高.（2）即求匸（工,工2）= 15 + 13工1+312 28工1工22才一10云 在xx + x2 =15下的条件极值，令 F = 15 + 13乂1 + 31 j: 2 一 8jc ! jr 2 2才一IOjc + 入(工】jc 2 15),-13 4 无 1 2 + 入=0 9ox 1由V务=31 8工1 一 20工2 +入=0, 兀2得 G =0,工2 = 1.5,x 1 x 2 1.5 = 0,即在广告费为1.5万元下，全部投放报纸广告，可使得利润最大.五、【证明明】 】 由拉格朗日中值定理，存在“ 6 （O,ez）,f2 E （b,a+b）,使得 /（a） /（0） = _f（Ei）a ,f （a +6） /（6） = （2）a，因为?! fy 从而/（“）a即 /(a) -/(0) A /(a +6) -f(6),整理得 /(a +6) A012 26b000000（）00000543 3-12,000000000000 得导出方程组的基础解系为=(1, 2,1,0,0)丁，2 =(1， 2,0,1,0)丁，6,0,0,1)T.第 7 页，共 8 页七、【证明】 令AX =入X,则AkX = XkX = 0,因为XH0,所以右=0,从而矩阵A的特征值为入1 = A2 =入” =0,于是E A的特征值全是1, 故 | E -A | = 1H0,即 EA 可逆.由 E = E-Ak = (E A) (E + A -A*-1 )得(E -AL = E+A-A-1.八、【证明】(反证法)不妨设A； ； +X2是矩阵A的属于特征值入3的特征向量， 即 A(Xi +X?) = A3(Xi +X2).显然 AX) )= “Xi ,AX2 =入2X2，从而 4Xi +A2X2 =入3X1 +A3X2，整理得(入 1 一入3)X +(& 入3 )X2 = 0,因为Xi ,X2线性无关，所以入1 一入3 = 0,入2入3 = 0,即入1 =入2,矛盾，故X+ x2不是矩阵A的特征向量.九、【解】C； 7 2C； C； 14 Cl 7P4)厂 15 ca 飞PS)厂 3。十、【解】(1 e,工 $0, (1) FxQ) = F(x , +s)=【0, 工V 0,fl-e-5y , yO, Fy(j/) = F(+,;y) = 10, 3/ 0. i,y 0.1 = px 0.1 py 0.1=l-Fx(0. D 口一 Fy(0. 1)=严.X 79设考生成绩为X,则XN(72,/),从而-N(o,l),a由 PX 96 = P (-y y J = 1 一()= 0. 023 得()= 0. 977,查表得一 =2,即(7 = 12.CT故 P60 X 84 = = 20(1) - 1 = 0.682.第 8 页，共 8 页