2018年全国硕士研究生考试数学（三）真题（含解析）

1、2018年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 11 页2018年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 11 页2018年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 11 页2018年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 11 页2018年数学（三）真题解析一、选择题（1）【答案】（D）.【解】对选项D,由导数定义得1i1 ，1-3C1 . 、亠 丄 1 . 2 1=lim -= lim -=,工 一 0 工-0一 力 lo一 z 2故函数f（ （.x ） =cosy| J； |不可导，同理，可验证其他3个选项在X =0都可导，应选（D）.【答案】（D）./；(0) = lim工0+/l(0) = limx-* 0. COS 4 1 .c = lim -= lim工0 x-0+ H o+/(jc ) /(O)cos y x 1【解】 考虑/（z）在X =-处的泰勒公式：）=”*）+川 *）（*）+兽 对fCx）在0,1上积分得0= /（a- ）dj? = fJ 0工一 *）（其中w在工与*之间）.2dx身）+H作）G-扑曲所以，当 fx ) 0 时 /(* ) = y

2、j /(g) ( ) dr 1 上字，由定积分的保号性，有厶 厶 e （1 + 丿融）吐 ldx 上嬰 dz ,即 K M N,应选（C）.J 2 J 2 J _豆 e【答案】（D）.【解】 平均成本函数c（q）=嘤2,则cq） =Cg）Q：c（Q）Q Q由题设产量为Qo时平均成本最小，所以c（Q）=gtQ）Qc（Qo）=0,Qo即 Cz（Qo）Qo =C（Q0）,应选（D）.（5）【答案】（A）./I 1 0A - 1 1 0【解】记矩阵M= 0 1 1 ,则I入EM| =0 A - 1 1o 0 U0 0 A - 1=(A 1 )3 = 0.2018年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 11 页所以矩阵MM的特征值为儿=入2=入3=1，且rQEM)=r(EM)=2,设选项(A),(B), (C),(D)的矩阵分别为A,B,C,D,易算出其特征值均为1,且r(AE-A)=r(E-A)=2, r(Er(E B)B) = = r(Er(E -C)-C) = = r(Er(E -D)-D) =1,=1,若两矩阵相似，其对应的特征值矩阵也相似,秩相等所以可以判断选项(A)正确，应选(

3、A). (6)【答案】(A).【解】 易知r(A,AB)r(A,AB) r(A),r(A),又由分块矩阵的乘法，可知(A,AB) =A(E,B),=A(E,B),因此 r r (A ,AB,AB ) min rr (A(A ) ,r (E ,B) ,从而 r(A,AB) Wr(A),所以 r(A,AB) =r(A),应选(A).【答案】(A).【解】 由/(1+)=/(1-),知/(工)关于工=1对称，因此/(j: )dj? = f /(j: )dj? = I /(x )djr =0. 3 ,J 0 J 1 2 J 0P P XX V0 = f /(j; )djc = f J /(j; )dj： =0. 5 0. 3 =0. 2.J oo J oo J 0故选(A).(8) 【答案】(B).【解】根据单个正态总体的分布性质可知乂龙N N(0,l),(二宜;1),X X _卩 _且 X 与 S?独立，所以 麻 -/ ( 1),即用(电- / (兀 一1 ),卜n n 一 1用，1 SJ a a2 2 n n 1 1应选(E).二、填空题(9) 【答案】夕=4攵一3.9 9 9【解】夕=2

4、工-,j/ = 2-(z 0).由 yy = 2-2 2 = 0 得拐点为(1,1).X X x又所求切线的斜率为yy =(2攵+吕)| _1=，故切线方程为夕=4鼻一3.(10) 答案】er arcsin P-71 -e2x +C.【解】je arcsin JJ e2jr dz = arcsin JJ e2j de_ _ _ r r i i= arcsin/1 e ex x ex - (e2x 2) ex drJyi-(l-e2x) 21 =eT arcsin %/1 e ex x + f 】- dr=er arcsin a/1 e J J e + C.2018年全国硕士研究生考试数学三真题第 6 页，共 11 页（11） 【答案】C2X -5（C为任意常数）.【解】 因为$y工=yx+z 2夕工+1 +% ,故原方程化为yx+2 2夕卄1 = 5, 对应齐次方程的通解为二=C2工（C为任意常数）.设非齐次方程的特解为夕；=A，则A 2A = 5,即A= 5. 故所求通解为几=C2 一 5（C为任意常数）.（12） 【答案】2e.【解】 由 /（a: + Aj; ） f（j： ：）

5、= 2jcf（j： ： ） Aj? + o （ Aj; ） （ Ajc 0）,得/（工）=lim力匕+牛）_于&）=2好（工）,即f =2hW2解之得f(x)=Cex (C为任意常数).由于 _f(0)=2,得 C=2.所以 ) = 2ex ,/(1) = 2e.(13)答案】2.【解】由Asa a I a 2, Aa 2 a 2 I a 3, Aa 3 a 1 a a 3/I1A (a(a 1 1 1 u u 2 2，a.3)= (A a 1 AuAu 2 2 3) =： (ctj u u 2 2,03) 11011010两边取行列式，得101101A| tt i j(X 2 |=|tti， ，X293 |110=| a i2 9+81) + 5,1 1 e7 -1 ffi lim x (tzex 1) +6 = lim -b = l+b= 2?所以 b =x（16）【解】 积分区域如右图阴影部分所示，且曲线与直线的交点为，则二（16）题图2018年全国硕士研究生考试数学三真题第 7 页，共 11 页其中,-/22k山d汁:吐：Dl-x2)2dyX 2 ( a/1 JC2 工)dz0

6、=3 (J 攵 2 J 工6.X 一 J 2 J7 3 dzx2 x2 dx0 x = sin t丄4 sin2Z cos Z d(sin t) =*sin 4t | f _ K4 / Io =3294 sin2 2tdt02 x3dx04XT20_ 1=TT7T7 1(1 cos 4z )dz =0 oy/s ( 7T 2 )32-一丄32 16（17）【解】 设圆的周长为工，正三角形的周长为，正方形的周长为z,由题设可知_z+y+z= 2, 则目标函数所以加山旳=站任DS = 7TX2+z2 2/5 2H 43 2 丄 N=-v -.4 兀 36 16构造拉格朗日函数L& 9夕，之；入）=F y2 + +入（力+丿+之一2）,对参数求导并 4兀 36 16令导函数为0,则L：=佥+入=02兀/ 2 V3 -】一=常+入-f 2zLf+入=0+ ?+ n 2=0,6站兀8 y =-9 z =-tv + 3 扼 + 4 兀 + 3 a/3 + 47t + 3 3 + 4 (18)【解】 根据函数的無级数展开，有 g逹沙诲糅”宀_ 1 (1+)2 所以，解得工 L7t + 3 a/3 +

7、 4此时，面积和有最小值，即S11 + Hn=0ltr4(-1)oo oo=另 a” 22( 1)+1(九 + 1)工”n=0 n=0=工 B (i)”+t+ i)wn = 02018年全国硕士研究生考试数学三真题第 8 页，共 11 页因为左边缺奇数项，因此n为奇数时,a” 一 (- l)n+1(n + 1) =0,即a” =“ +1；此时，Y 一(一 1)宀(+ Dn = Q=工2n （ 1）2卄1 （2 + 1） J?n = 0（1）”即 5”+（2“ + 1）=4-4p + 1,综上可知an =（_）号=Y “2” +（2 + 1 ） J72, ” =0（1 ） ” 5=而”-（2+1）n = 1,3,5，1, n =0,2,4,.(19)证明】 因为工】H0,所以e巾P 1 _ 由微分中值定理，存在 6 (0,厂)，使得 =e,即F =e$,因此0 Vg G. r i类似，假设0 V z ”+i z ”，贝!工 e +1 1e +2 =-= e (0 V 乃 V z ”+i),即 0 V 工卄2 0时,fS = rex 0,函数/&)在0, +8)上单调增加，所以A =0是方

8、程AeA eA 1 在0, + ）上的唯一解，故limz” =0.（20）【解】（I ）jc ! X 2 +工3 = 0, 由 /（X1 ,x2 x3） = 0 得yx2 + 3 =0& 1 + ax 3 = 0 9则系数矩阵A = 0-11/I02 1初等行变换111-H0110J00a 2所以当a H 2时9厂(A) = 39方程组有唯一解x! = jc 2 =g 0.当a =2时，r(A)=2,方程组有无穷解,X=k-l Ck为任意常数).夕1 =21 攵2 +工3，(U)当a工2时,令丿夕2=工2+5， 为可逆变换，此时规范形为y+y+y. 3 =G +处3，当a = 2时，/(工1，広2，工3)=(H1 J：2 + -3)2 +(J：2 + -3 ) 2 + CZ1+2j；3)22018年全国硕士研究生考试数学三真题第 9 页，共 11 页=2z 12 + 2z 2? + 32 2h 2 + 6z iz 3此时规范形为J/l2 + j22.(21)【解】(I )r(A) =2,而初等变换不改变矩阵的秩，因此JB的秩r(B) =2,于是行列式1 a 2 B B = = 0 1

9、1 = 2 一 q=0,即 a=2.-Ill(D)由AP=B,AP=B,得卩=8丁，即矩阵可经过初等行变换化为矩阵t,由分块矩阵的 乘法知Pt(At,E) =(PtAt,Pt) =(Bt,Pt).上式表明，对矩阵(At,E)作初等行变换化为(BT,PT),可求得矩阵pT.对下列矩阵作初等行变换，得/I1210I11210(At i E)=237010 -A O13-21J20-200Jo_ 2一 6-20J11210I10-13-10013-210 -A O13-210000-62J000-621-1 0-1 01 110-132114211-2于是 04 - 21 10 1(22)【解】(I )因为E(X)=O,E(X2) = 1,E(Y)=A ,以及X,Y相互独立，故 Cov(X,Z)=Cov(X,XY) =E(X2Y) -E(X)E(XY)= E(X2)E(Y) -E2(X)E(Y)=入.(U)由Y服从参数为入的泊松分布，即PY=j=/O=0，l，2,“)，于是Z的所有 J !可能取值为全体整数.故Z的概率分布为1)当怡为正整数时，有1 右P Z = b = P XY =k =P

10、 X = l,Y=b PX =1P Y k = reA ；2)当b为负整数时，有P Z =k = P XY k =P X 1 ,Y k = PX 1 P Y = k1 厂 _A =7 * (-)! e ；2018年全国硕士研究生考试数学三真题第 10 页，共 11 页3)当怡为0时，有PZ=O =PXY = O = PX= 1,Y = O+PX=1,Y = O= PX = lPY = O +PX =1PY = O故 P(Z=b)=e1 -A I 1 -A -A =Te +Te =ei入 -e 92 k-A1 入tI (T)!e_Ak = 1 Q ,3 9 9k, = Q 9k = 1, 2, 一 3 ? (23)【解】(I)似然函数为L x i 9工2，八，力“；”)=i = l1 -丨 r I-e ,=1 ，一 V . V+00 J = 19 2 9 ” 2nan于是 In L = nln 2 令芈丄=_工+屯|口|=0,得c的最大似然估计量为&=丄丨X, | da a a , = i n Z = 11 UU. f+ , 1 _11 r+ jr _三(U)Ed)=工 E(|Xj)=E

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