湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中数学试题

1、20192020学年度长郡高二期中联考数学一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.椭圆的一个焦点坐标为（ ）A. (5,0)B. (0,5)C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的椭圆的方程，可得的值，并且可以判断焦点所在轴，从而求得椭圆的焦点的坐标.【详解】因为，所以，故椭圆的上焦点的坐标是，故选D.【点睛】该题考查的是有关椭圆的性质，属于简单题目.2.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】含一个量词的否定，全称改存在，再否定结论即可【详解】将全称量词改成存在量词，再否定结论，可得，故选：B.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，基本方法为：先否定量词，再否定结论，属于基础题3.某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（ ）A. 20B. 25C. 30D. 35【答案】B【解析】【分析】通过计算三个年级的人

2、数比例，于是可得答案.【详解】抽取比例为，高一年级有人，所以高一年级应被抽取人数为.【点睛】本题主要考查分层抽样的相关计算，难度很小.4.从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）A. “恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C. “都是白球”与“至少有一个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是黑球”【答案】A【解析】【分析】需从互斥事件和对立事件的概念加以区分，结合具体选项对应的事件加以辨别【详解】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，A正确；对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，这两个事件不是互斥事件，B不正确；对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选：A.【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的区别与联系，事件互斥不一定对立，事件对立一定互斥，

3、属于基础题5.过点，且与双曲线 有相同渐近线的双曲线的方程是A. B. C. D. 【答案】D【解析】设与曲线 有相同渐近线的双曲线的方程为，又因为该双曲线过点，所以，即，即，即该双曲线的标准方程为.故选D.点睛：本题考查双曲线的几何性质；本题的技巧在于巧妙地设出双曲线方程，避免了讨论双曲线是哪一种标准方程，常见设法是：以为渐近线的双曲线可设为，与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为.6.西游记三国演义水浒传红楼梦是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到红楼梦的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求红楼梦被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到红楼梦的概率。【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有红楼梦的共有种，所以任取2种进行阅读，则取到红楼梦的概率为。故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题。7.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的

4、平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.8.已知命题,命题,，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】命题是假命题，命题是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.【详解】因为，故命题是假命题，又命题是真命题，故为假，为假，为假，为真命题，故选D.【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.9.已知样本，的平均数为，标准差为，那么样本，的平均数和标准差分别是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】结合平均数基本公式和方差公式求解即可【详解】根据题意，样本，的平均数为，标准差为，其方差为，那么样本，的

5、平均数，则其方差，则样本，的标准差为，故选：A.【点睛】本题考查样本数据中平均数与标准差的求解，属于基础题10.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据三角函数的图像和特殊角的三角函数值，得到 ，根据几何概型判断，概率为： 故答案选C。11.已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意，画出椭圆与直线的图形；设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（，），B（，），斜率为k；则，；，得，由中点坐标公式：=4，=2，；k=故选B12. ，使 ，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得，问题转化为的问题，设函数，利用该函数的单调性即可求出参数范围【详解】由题意可知：，使，则.由于函数是定义域内的单调递增函数，故当时，函数取得最小值，综上可得，实数的取值范围是.本题选择B选项.【点睛】思路点拨：1.由题意分离参数，然后结合函数的单调性确定实数的取值范围；2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立；(2)恒成立.13.已

6、知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过向抛物线的准线作垂线，垂足为，根据和在坐标求出的值，进而可得出的值，再计算出即可【详解】解：过向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，故又在抛物线上，故，于是，解得，故选D【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于中档题14.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”B. “”是“”的充要条件C. 直线：，：，“”是“”的充分不必要条件D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】C【解析】【分析】对A，命题的否定为双否，可判断错误；对B，的解有两个，显然充要条件不成立；对C，两直线垂直还包括的情况，充分不必要条件成立；对D，余弦函数为周期函数，显然一个函数值对应多个自变量，可判断错误【详解】命题“若，则”的否命题为：“若，则”，所以A不正确；“”是“”的充分不必要条件，所以B不正确；直线：，：，“或”是“”的充要条件，则“”是“”的充分不必要条件，所以C正确；命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，显然不正确，是假命题；故选：C.【点睛】本题考查命题

7、真假的判断，综合性强，对于细节性问题考查到位，在平常学习中要学会思辨，学会把握知识的连贯性和特殊性，属于中档题15.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，若，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的性质可得：|AF|b，|OA|a，tanAOF，tanAOBtan2AOF，在直角三角形OAB中求出|AB|和|OB|，再根据等差中项列等式可得 a2b，可得离心率【详解】由双曲线的性质可得：|AF|b，|OA|a，tanAOF，tanAOBtan2AOF在RtOAB中，tanAOB|OB|，又|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，2|AB|OA|+|OB|，化简得：2a23ab2b20，即（2a+b）（a2b）0，a2b0，即a2b，a24b24（c2a2），5a24c2，e2故选：A【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查等差数列的性质，此题得出b和a的数量关系是关键,属于中档题.二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16.椭圆短轴的长为，则实数_.【答

8、案】【解析】【分析】直接根据椭圆的短轴定义，注意分析焦点在轴上情况。【详解】由题得，因为椭圆短轴的长为，所以焦点不会在轴上，故椭圆，故填16.【点睛】本题考查了椭圆的基本量，注意题目没给焦点坐标要有意识地去讨论。17.某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是_【答案】40【解析】【分析】先求出组距，然后根据已知第二个样本的编号，求得第三个样本的编号.【详解】从名学生中抽取名，组距为，由于抽取到第二个编号为号，故第三个样本的编号为号.【点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题.18.设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于_【答案】12【解析】【分析】通过双曲线的定义可先求出的长度，从而利用余弦定理求得，于是可利用面积公式求得答案.【详解】由于，因此，故，由于即，而，所以，所以，因此.【点睛】本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.19.在平面区域内任取一点，若满足的概率大于，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】结合线性约束条件画出可行域，满足的概率大于可转化为：符合条件的目标区域面积大于总区域面积的，结合三角形面积公式求解参数，再根据目标函数的移动特点进一步分析即可【详解】作出不等式组对应的平面区域如图，则矩形的面积，当满足的概率大于，则满足对应的区域为，则，则的面积，即，即，解得，若满足的概率大于，则对应区域的面积，此时直线在直线的上方，即，故的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查由目标函数对应面积的占比求参数问题，属于基础题20.已知为坐标原点，点在抛物线：上，过点作两直线分别交抛物线于点，若，则的值为_.【答案】2【解析】【分析】可先设，由斜率的定义表示出，结合抛物线方

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