【新高考】3.1.1 函数的概念 教学设计（1）-人教A版必修第一册.pdf

旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 3.1.1 函数的概念 本节课选自 普通高中课程标准数学教科书-必修一 （人教 A 版） 第三章 函数的概念与性质 ， 本节课是第 1 课时 函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学. 对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又 善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次 和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻. 高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个 集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想所以把第一课时的重点放在函数的概 念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数 三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定 义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题. 学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的 自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示. 课程目标 素养 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 A. 通过丰富的买例进一步体会函数是描 述变量之间的依赖关系的重要数学模型; B. 用集合与对应的思想理解函数的概念; C. 理解函数的三要素及函数符号的深刻 含义; D. 会求函数的定义域。

1.数学抽象：函数符号( )yf x=的含义； 2.逻辑推理：函数的概念； 3.数学运算：求函数的定义域； 4.直观想象：由具体例子概括函数的概念 1.教学重点：函数的概念，函数的三要素； 2.教学难点：函数的概念及符号( )yf x=的理解 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 一、复习回顾，温故知新 1. 初中学习的函数的定义是什么？ 【答案】设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每 一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数.其中 x 叫自变量，y 叫因变量. 2.回顾初中学过哪些函数？ （1）一次函数 （2）正比例函数 （3）反比例函数 （4）二次函数 二、探索新知 探究一 函数的概念 问题 1. 某 “复兴号” 高速列车到 350km/h 后保持匀速运行半小时 这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行时间 t（单位： h）的关系可以表示为 S=350t 1.思考：根据对应关系 S=350t，这趟列车加速到 350km/h 后，运 行 1h 就前进了 350km，这个说法正确吗？ 【答案】不正确。

对应关系应为 S=350t，其中 1750|,5 . 00| 11 ==ssBsttAt， 通过复习初中所学 函数的定义及基本 初等函数，为进一步 学习函数的概念打 基础，建立知识间的 联系 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 问题 2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少 1 天， 至多不超过 6 天如果公司确定的工资标准是每人每天 350 元，而且每周付一次 工资， 那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资 w（单位：元）是他工作天数 d 的函数吗？ 【答案】是函数，对应关系为 w=350d,其中,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 2 =Ad 2100,1750,1400,1050,700,350 2 =Bw 2.思考： 在问题 1 和问题 2 中的函数有相同的对应关系， 你认为它们 是同一个函数吗？为什么？ 【答案】不是自变量的取值范围不一样 问题3 如图， 是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图 如何根据该图确定这一天内任一时刻 th 的空气质量指数的值 I？你 认为这里的 I 是 t 的函数吗？ 【答案】是，t 的变化范围是240|A3=tt，I 的范围是 1500|IB3=I。

通过学生对实例或 问题的思考，去体验 知识方法.通过问题 的思考，提高学生的 观察、类比推理、概 括能力 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 问 题4 国 际 上 常 用 恩 格 尔 系 数） 总支出金额 食物支出金额 =rr( 反映一个地区人民生活质量的高低， 恩格尔系数越低， 生活质量越高 上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况， 从表中可以看出， 该 省城镇居民的生活质量越来越高 你认为该表给出的对应关系， 恩格 尔系数 r 是年份 y 的函数吗？ 【答案】y的取值范围是 2015,2014,2013,2012,2011,2010,2009,2008,2007,2006A4=， 10|B4=rrr的取值范围是， 恩格尔系数 r 是年份 y 的 函数 3.思考：上述问题 1问题 4 中的函数有哪些共同特征？由此你能概 括出函数概念的本质特征吗？ 【答案】共同特征有： （1）都包含两个非空数集，用 A，B 来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数 集 A 中的任意一个数 x，按照对应关系，在数集 B 中都有唯一确定 的数 y 和它对应。

4.函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的 数 y 和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 （function） ，记作：y=f(x) xA x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域. 5.对函数符号 y=f(x)的理解： （1） 、y=f(x)为“y 是 x 的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是 f 与 x 相乘 例如：y=3x+1 可以写成 f(x)= 3x+1 当 x=2 时 y=7 可以写成 f(2)=7 想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与 f(x)有什么区别？ 一般地，f(a)表示当 x=a时的函数值，是一个常量f(x)表示自变量 x 的函数，一般情况下是变量 （2） 、 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示， 如:“y=g(x)” ， “y=h(x)” ； 6、思考：函数的值域与集合 B 什么关系？请你说出上述四个问题的 值域？ 【答案】函数的值域是集合 B 的子集。

问题 1 和问题 2 中，值域就 是集合 B1 和 B2；问题 3 和问题 4 中，值域是 B3 和 B4 的真子集 牛刀小试 通过思考，提高 学生的分析问题，概 括能力 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 1.对于函数 y=f (x)，以下说法正确的有( ) y 是 x 的函数 对于不同的 x,y 的值也不同 f(a)表示当 x=a 时函数 f(x)的值，是一个常量 f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域： 函数 一次函数 二次函数 反比函数 a0 a<0 对应关系 Z| y=ax+b( a0) yX|X|K y=ax2+bx+ c(a0) y=ax2+bx+ c(a0) y=(k 0) 定义域 科 R ZRR)2()() 1 ( 2 2332 n n mxyvvuxy===== 解：),0()(1 2 ==xxxy）（这个函数与)(Rxxy=对应关系一 样，定义域不同，所以和函数 y=x 不相等。

)()2( 33 Rvvvu==，这个函数与)(Rxxy=对应关系一样， 定义域相同，所以和函数 y=x 相等 通过例题，进一步巩 固函数的概念，提高 学生分析问题，解决 问题的能力 旗开得胜 读万卷书 行万里路 12 === 0, 0, ||3 2 xx xx xxy）（，这个函数和)(Rxxy=定义域相 同，但是当 x0) x，(x<0， 对应关系不同；y 3 x3x，且定义域为 R.故选 D. 【答案】 D 3函数yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为( ) A1,0,3 B0,1,2,3 通过练习巩固本节 所学知识，提高学生 解决问题的能力，感 悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应 用意识 旗开得胜 读万卷书 行万里路 14 Cy|1y3 Dy|0y3 【解析】 当x0 时，y0；当x1 时，y121；当 x2 时，y4220；当x3 时，y923 3，函数yx22x的值域为1,0,3 【答案】 A 4函数f(x)x4 1 x5的定义域是________ 【解析】 函数f(x)x4 1 x5， x40 x50， 解得x4，且x5， 函数f(x)的定义域是4,5)(5，) 【答案】 4,5)(5，) 5已知函数f(x)x 1 x， (1)求f(x)的定义域； (2)求f(1)，f(2)的值； (3)当a1 时，求f(a1)的值 【解】 (1)要使函数f(x)有意义，必须使x0， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 15 函数是高中数学中一个非常重要的内容之一,贯穿整个高中数学学习。

然而函数这部分知识在 教学中又是一大难点这主要因为概念的抽象性,学生理解起来不容易,由于函数这部分体现于一个 “变”字,接受起来就更难研究的主要是“变量”与“变量”之间的关系,要求用变量的眼光学习函 数所以函数成了高一新生进入高中的一条拦路虎突破了它后面的学习就容易了 函数的概念表现出来的都是抽象的数学形式,在数学的教学中,要强调对数学本质的认识 所以函 数概念的教学更忌照本宣科,要注意对知识进行重组努力去提示函数概念的本质 f(x)的定义域是(，0)(0，) (2)f(1)1 1 12，f(2)2 1 2 5 2. (3)当a1 时，a10，f(a1)a1 1 a1. 四、小结 1.函数的概念； 2.函数定义域的求法； 3.函数的三要素及函数相等的判断方法 五、作业 习题 3.1 1.（3） 、 （4） 2.（1） 、 （2） 通过总结，让学生 进一步巩固本节所 学内容，提高概括能 力,提高学生的数学 运算能力和逻辑推 理能力。