4.1 数列的概念精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）.docx

第四章：数列4.1数列的概念【考点梳理】考点一数列及其有关概念1. 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的现.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第L项，常用符号叫表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用“2表示……，第也个位置上的数叫做这个数列的第上项，用〃表示.其中第1项也叫做首项.2. 数列的一般形式可以写成⑶,如3,…，如 …，简记为01.考点二数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列考点三函数与数列的关系数列｛角｝是从正整数集N'（或它的有限子集｛1,2,…，町）到实数集R的函数，其自变量是序号心对应的函数值是数列的第〃项色，记为仞）.考点四数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都公壬它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都jfl笠的数列考点五通项公式1. 如果数列｛〃｝的第，?项〃与它的匣d之间的对应关系可以用-•个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.2. 通项公式就是数列的函数解析式,以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.考点六数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用二±式壬来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.考点七 数列的前〃项和S”与s的关系重难点大规律归纳I •把数列｛时从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛。

浦的前〃项和，记作S"，即S”=ui+o2 S\» 〃 = 1,2. Cln = ' 、Sn—Sn-\, 〃N2.⑴由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集｛1,2,…，町这一条件.，，…的通项公式;的通项公式；的通项公式；...的通项公式；5. D解：对A.《=3血=5,3=9,可能是数列3, 5,对 B.《=3,02=5,0=9,可能是数列 3, 5, 9,..对 C.《=3,02=5,0=9,可能是数列 3, 5, 9,..对D. % =3,角=5,% =7 ,不可能是数列3, 5, 9,故选：D.6. B【详解】n 〃 + 1 〃 +2 na,, • an., -a„.-y = = .'〃+1 n+2 〃+3 〃+3故选：B.7. D解： a = —hr + 29/2 + 3 = —2(n ——+^!^,I 4 J 8因为〃 eN+，且％ =108,% =107,所以此数列最大项为％ =108.故选：D.8. C【详解】/7-V2OH , V2012-V20H川"'产〃-皿012 〃-屈任所以当心［1,44］且住N'时，｛%｝单调递减；当n 6 ［45, +oo）旦〃 §片时，｛%｝单调递减,结合函数/（］）碧普的图象，如图所示可得当〃 =45时,《取得最大值，即（％扁=血,当〃 =44时，与取得最大值，即（“，。

曲二白…故选：C.解：a = —2n2 +21/7 = —2（n — — ,I 4 J 821因为〃wM,5< = <6,且％=55,6=54,4所以数值最大的项为第5项.故选：A.10. C解：因为％=2=1，且％ =%-i+%2，（〃23）,所以ay=a2+ai =2, %=%+皿=2 + 1 = 3,故选：C11. B【详解】因为％ =2% =2,所以6 =2血=1,因为％2=|%L%|，所以数列的项依次为2, 1, 1, 0, 1, 1, 0,…，所以从第2项起，3项一个循环，所以｛《｝的前100项的和^2 + 33x(1 + 14-0) = 68,故选：B.12. B【详解】因为数列｛与｝中，角=1,，=2, %2=反-%，所以a3 = a2 -% =1 ,所以aA =a3-a2 = 1一2 = -1.故选：B13. B【详解】设数列 I, 3, 6, 10, 15,...为｛%｝,所以角 一 =2,%2 =3,角一％ =4 , an = n,n g N*» n>2,所以an=an_x + njieN\ n>2.故选：B.14. A【详解】由"朋=己，且％=!a=-^— = — = 2 1 1 1 I 1则 一 e E ，%=显=元=，^~=rp)=i所以。

心=% (〃eN*),即数列｛%｝是以3为周期的周期数列所以％o=%=5故选：A15. D【详解】由题意，数列0｝满足％产土％(〃61<),所以—=~^,〃 + I ' ' 白“ 〃 +1an a„ . a. ay 〃一 1 〃 一 2 2 1,1所以为=dxqx...x — x = x《= x— x...x-x-xl=-.«„_) 2 % a\ n 〃一 1 3 2 n故选：D.16. C【详解】*•* S” = 67] = 1 ,当〃 22时，a„ -Sn~ 5,,-j = n1 - (/? -1)2 = 2/z -1,此时 ％ = 1,综上，数列｛%｝的通项公式为〃=2〃-1.・ h _ "a 2/7 + 1 12• • % 一 TZ = = 1 ，10 - % 11 - 2〃 11-2,?17记六'）=77彳-1，则在（f，5・5）与（5.5,心）上都是增函数,11 — LX・.・数列｛如｝的最小项是第6项，值为-13.故选：C17. C【详解】n = I 时，ci2 = 3S] = =3,时，%=3S”,所以 an+1 -an = 3(Sn -5„_, ) = 3an=>a^=4an,而此=3《h 4『,所以数列｛%｝从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，所以与 =<= 13x4n_2,/2>2故选：C.18. D【详解】当〃 =1时，则有％=：；当〃 N 2 时，由 6 + 2但 + 2一 ％ 2" " an_｛ + 2" 1 an =—,①可得％ + 2纶+，《+•••+2*2 %” = 号，②① 一②可得2,-也=!，所以，日目，％=!满足与=自・故对任意的〃gN・，。

如阿.故选：D.19. C解：A, B中没有告诉某一项的值，无法递推；中切=2,々2=4,白3=6,不合题意.只有选项C符合题意.故选：C20. A【详解】flrr11 — an=3rt"1—3,J=2X3,,>o, an+1>an,即｛「｝是递增数列.故选：A.21. D对于①：当" = 1,2,3,4,5,6时，对应的项分别为：皿,0 , 75，0 ,捉，0 ,故①正确；对于②：当〃 =123,4,5,6时，对应的项分别为：扼，0, 〃，0,时0,故②正确；对于③：当" = 1,2,3,4,5,6时，对应的项分别为：75，0,龙，0,血，0,故③正确：所以①②③的通项公式都符合题意，故选：D.22. C【详解】因为％ =1,2=1，且%=知-％_2，("23),所以Q =纯 = 1— 1 = ° ； a4 ~a3~a2 =0-1 = -1 ； a5=a4-a3= -1 -0 = -1 ；=TT = 0； G =%_% =0-(-1) = 1;纯=虹6 =1-0 = 1 ；同理递推可得：为=％0=T； %I=T；《2=0；《3=1；《4=1； %5=°； «16=-' : %7=T；《8=0；。

19 = 1 ；20 = 1 .所以 & =1 + 1+0+0+(-1)+(-1)+1 + 1+0+0+(-1)+(-1)+1 + 1+0+0+(・1)+(-1)+1 + 1=2.故选：C23. D【详解】当〃=1时，心1 + % c 1 + 劣 1 l + t/, 1 . 1 + a.=1 .疽3；当〃 =2时，％ = _丁-2；当〃一3时，% = f =3；当〃 =4时，％ = f =2；二数列｛%｝是以4为周期的周期数列，「•"”也奶心=2x(-3)= 1(〃 w 冷)，7；o = K • = = 2 x (_3)= -6.故选：D.24. C【详解】因为 %2 = 2% + an +1 且 Oy =1,^=2,则 % = 2a2 + a +1 = 6, % = 2% +«2 +1 = 15,a5 = 2a4 + a3 +1 = 37.故选：C.25. B25解：令函数y = x + —,X>O,由对勾函数的性质得函数y = x + —在(0、5)上单调递减，在(5,做)上单调递增,JC所以当心时，｛与｝是单调递减数列，当〃25时，｛%｝是单调递增数列，所以 a, >a2>a3>a4>a5

6)a> —300,易知④正确.故选：A31. ACD【详解】H I 7对于A,当通项公式为京时，不符合题意，故选项A错误;对于B,由数列的通项公式以及neN*可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确;对于C,由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项c错误；对于D,数列…，:是递减数列，故选项D错误.2 4 2/7故选：ACD.32. ABCD【详解】对于A：写出数列的前6项为1, 1, 。