
高中数学 同步教学 抛物线的简单几何性质.pptx
26页单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2.4.2,抛物线的简单几何性质,【思考】,观察下列图形,思考以下问题,:,(1),观察焦点在,x,轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别,?,(2),根据图形及抛物线方程,y,2,=,2,px,(,p,0),如何确定横坐标,x,的范围,?,答案,(1),抛物线与另两种曲线相比较,有明显的不同,椭圆是封闭曲线,有四个顶点,有两个焦点,有中心,;,双曲线虽然不是封闭曲线,但是有两支,有两个顶点,两个焦点,有中心,;,抛物线只有一条曲线,一个顶点,一个焦点,无中心,.,(2),由抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),有,所以,x,0,.,所以抛物线,x,的范围为,x,0,.,抛物线在,y,轴的右侧,当,x,的值增大时,|y|,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,.,1,.,抛物线的简单几何性质,名师点拨,1,.,抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有较大差别,它的离心率为定值,1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线,.,2,.,抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称,.,【做一做,1,】,(1),顶点在原点,对称轴为,y,轴,顶点到准线的距离为,4,的抛物线方程是,(,),A.,x,2,=,16,y,B.,x,2,=,8,y,C.,x,2,=,8,y,D.,x,2,=,16,y,(2),若点,(,a,b,),是抛物线,x,2,=,2,py,(,p,0),上的一点,则下列点一定在抛物线上的是,(,),A.(,a,-b,)B.(,-a,b,),C.(,-a,-b,)D.(,b,a,),解析,(1),由已知得,=,4,2,p=,16,所以抛物线方程为,x,2,=,16,y.,(2),抛物线,x,2,=,2,py,关于,y,轴对称,所以点,(,a,b,),关于,y,轴的对称点,(,-a,b,),一定在抛物线上,.,答案,(1)D,(2)B,2,.,直线与抛物线的位置关系,设直线,l,:,y=kx+m,抛物线,:,y,2,=,2,px,(,p,0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于,x,的方程,k,2,x,2,+,2(,km-p,),x+m,2,=,0,.,(1),若,k,0,当,0,时,直线与抛物线相交,有两个交点,;,当,=,0,时,直线与抛物线相切,有一个切点,;,当,0,时,直线与抛物线相离,没有公共点,.,(2),若,k=,0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,.,因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的,必要不充分条件,.,特别提醒,直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点,;,直线与抛物线只有一个公共点时,直线与抛物线不一定相切,也有可能是相交,这时直线与抛物线的对称轴平行,.,【做一做,2,】,(1),直线,y=,2,x-,1,与抛物线,x,2,=y,的位置关系是,(,),A.,相切,B.,相交,C.,相离,D.,不确定,(2),过点,(1,1),与抛物线,y,2,=x,只有一个公共点的直线有,(,),A.1,条,B.2,条,C.3,条,D.4,条,因为,=-,1,0),.,抛物线的焦点到顶点的距离为,3,即,=,3,p=,6,.,抛物线的标准方程为,y,2,=,12,x,或,y,2,=-,12,x,其准线方程分别为,x=-,3,或,x=,3,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟,抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,延伸探究,抛物线的顶点在原点,对称轴重合于双曲线,9,x,2,-,4,y,2,=,36,虚轴所在的直线,其他条件不变,抛物线的方程如何,?,解,双曲线,9,x,2,-,4,y,2,=,36,的虚轴为,y,轴,抛物线的对称轴为,y,轴,设抛物线的方程为,x,2,=,2,py,或,x,2,=-,2,py,(,p,0),.,抛物线的焦点到顶点的距离为,3,即,=,3,p=,6,.,抛物线的标准方程为,x,2,=,12,y,或,x,2,=-,12,y.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练,1,边长为,1,的等边三角形,AOB,O,为坐标原点,AB,x,轴,以,O,为顶点且过,A,B,的抛物线方程是,(,),答案,C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究二直线与抛物线的位置关系,例,2,已知直线,l,:,y=kx+,1,抛物线,C,:,y,2,=,4,x,当,k,为何值时,l,与,C,有,:,(1),一个公共点,;(2),两个公共点,;(3),没有公共点,?,思路分析,将直线方程与抛物线方程联立,消去,y,得到关于,x,的方程后,讨论根的情况,得到公共点的个数情况,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,当,k,0,时,方程,(,*,),是一个一元二次方程,且,=,(2,k-,4),2,-,4,k,2,1,=,16,-,16,k,当,0,即,k,1,且,k,0,时,l,与,C,有两个公共点,此时,l,与,C,相交,;,当,=,0,即,k=,1,时,l,与,C,有一个公共点,此时直线,l,与,C,相切,;,当,1,时,l,与,C,没有公共点,此时直线,l,与,C,相离,.,综上所述,(1),当,k=,1,或,k=,0,时,直线,l,与,C,有一个公共点,;,(2),当,k,1,时,直线,l,与,C,没有公共点,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟,方程思想解决直线与抛物线的位置关系,研究直线与抛物线的位置关系问题主要采用代数方法,即当直线斜率存在时,设直线,l,的方程为,y=kx+m,抛物线的方程为,y,2,=,2,px,(,p,0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于,x,(,或,y,),的一元二次方程形式,Ax,2,+Bx+C=,0(,或,Ay,2,+By+C=,0),.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练,2,设抛物线,y,2,=,8,x,的准线与,x,轴交于点,Q,若过点,Q,的直线,l,与抛物线有公共点,则直线,l,的斜率的取值范围是,(,),解析,设直线方程为,y=k,(,x+,2),与抛物线方程联立,整理得,ky,2,-,8,y+,16,k=,0,.,当,k=,0,时,直线与抛物线有一个交点,;,当,k,0,时,由,=,64,-,64,k,2,0,解得,-,1,k,1,所以,-,1,k,1,.,答案,C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究三抛物线在实际问题中的应用,例,3,如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管,OP=,1 m,水从喷头,P,喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面,2 m,点,P,距抛物线的对称轴,1 m,则水池的直径至少应设计多少米,?(,精确到,1 m),思路分析,以抛物线的顶点为原点,对称轴为,y,轴建立平面直角坐标系,则易得点,P,的坐标,再由,P,在抛物线上求出抛物线方程,设抛物线与水面的交点为,B,则由点,B,的纵坐标求出点,B,的横坐标即可得解,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,解,如图所示,建立平面直角坐标系,.,设抛物线方程为,x,2,=-,2,py,(,p,0),.,依题意有,P,(,-,1,-,1),在抛物线上,代入得,p=.,故得抛物线方程为,x,2,=-y.,反思感悟,坐标法解决与抛物线有关的实际问题,解决实际问题时,首先找到合适的数学模型,把它转化为数学问题,通过我们学过的数学知识进行求解,.,利用抛物线模型解决问题时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线的顶点作为坐标原点,将对称轴作为,x,轴或,y,轴建立坐标系,其次要注意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练,3,如图是抛物线形拱桥,当水面到直线,l,时,拱顶离水面,2 m,水面宽为,4 m,.,水位下降,1 m,后,水面宽为,m,.,解析,建立如图所示的平面直角坐标系,.,设抛物线的方程为,x,2,=-,2,py,(,p,0),由点,(2,-,2),在抛物线上,可得,p=,1,则抛物线方程为,x,2,=-,2,y.,当,y=-,3,时,x=,故水面宽为,2 m,.,答案,2,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析,一题多解,与中点弦有关的问题,典例,过点,Q,(4,1),作抛物线,y,2,=,8,x,的弦,AB,恰被点,Q,所平分,则,AB,所在直线的方程为,.,思路分析,法一,:,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),用点差法求,k,AB,;,法二,:,设直线,AB,的方程,建立方程求解,.,解析,(1),法一,:,设以,Q,为中点的弦,AB,的端点坐标为,(,y,1,+y,2,)(,y,1,-y,2,),=,8(,x,1,-x,2,),.,又,y,1,+y,2,=,2,y,1,-y,2,=,4(,x,1,-x,2,),所求弦,AB,所在直线的方程为,y-,1,=,4(,x-,4),即,4,x-y-,15,=,0,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,法二,:,设弦,AB,所在直线的方程为,y=k,(,x-,4),+,1,.,联立,消去,x,得,ky,2,-,8,y-,32,k+,8,=,0,此方程的两根就是线段端点,A,B,两点的纵坐标,由根与系数得,y,1,+y,2,=.,又,y,1,+y,2,=,2,k=,4,.,所求弦,AB,所在直线的方程为,4,x-y-,15,=,0,.,答案,4,x-y-,15,=,0,探究一,探究二,探究三,当堂检测,1,.,抛物线,C,:,y,2,=,2,px,(,p,0),的焦点,F,到准线,l,的距离为,2,则,C,的焦点坐标为,(,),解析,焦点,F,到准线,l,的距离为,2,p=,2,.,抛物线方程为,y,2,=,4,x,焦点,F,的坐标为,(1,0),.,故选,C.,答案,C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,2,.,直线,y=,2,x+,4,与抛物线,y=x,2,交于,A,B,两点,则,ABO,的面积为,(,),答案,B,探究一,探究二,探究三,当堂检测,3,.,若抛物线,x,2,=ay,的焦点到准线的距离为,1,则,a=,(,),A.2B.4,C.,2D.,4,答案,C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,4,.,如图所示,等边三角形,OAB,的边长为,8 ,且其三个顶点均在抛物线,E,:,x,2,=,2,py,(,p,0),上,求抛物线,E,的方程,.,。












