考点3.1空间几何体及其体积与表面积问题(原卷版).pdf

考点 3.1 空间几何体及其体积与表面积问题空间几何体的体积与表面积问题是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的空间几何体的体积与表面积问题在高考中逐步成为热点通过具体的问题背景，考察几何体体积、表面积等在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识本专题以单选题，多选题，填空题及解答题等形式体现几何体的体积与表面积问题的实际应用解决基于问题情境的空间几何体的体积与表面积问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决实际问题解题要点：(1) 变量的确定；(2) 根据几何体的体积与表面积公式等建立关于变量的方程或解析式； (3) 利用方程或解析式进行实际问题求解基础知识1空间几何体的结构特征2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2 rlS圆锥侧 rlS圆台侧( rr)l3.空间几何体的表面积与体积公式表面积体积柱体 (棱柱和圆柱 )S表面积S侧2S底V S底h锥体 (棱锥和圆锥 )S表面积S侧S底V13S底h台体 (棱台和圆台 )S表面积S侧S上S下V13(S上S下S上S下)h球S4 R2V43 R3空间几何体的体积与表面积问题的实际应用（1） 单选题1我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“ 幂势既同，则积不容异. ”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等 .运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体 （如图）， 用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即2311122323VRRRRR球.现将椭圆22149xy绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A 32B24C18D162 （ 2018?新课标，理7 文 9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N的路径中，最短路径的长度为()A2 17B2 5C3D23 （ 2018?新课标，理3 文 3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()ABCD4 （ 2015?新课标，理6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“ 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？” 其意思为： “ 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为162 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14 斛B22 斛C36 斛D66 斛5 （ 2013 新课标，理6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A、5003cm3B、8663cm3C、13723cm3D、20483cm3（2） 多选题6 （ 2020江苏高二期中）20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“ 切” 去8个“ 角 ” 后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为1，则（）A它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直C它的体积为5 23D它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等7 （ 2020山东高三专题练习）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）A沙漏中的细沙体积为3102481cmB沙漏的体积是3128cmC细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD该沙漏的一个沙时大约是1985 秒（3.14）8 （ 2020湖南省岳阳县第一中学高二期中）如图， 在透明塑料制成的长方体1111ABCDABC D容器内灌进一些水（未满） ，现将容器底面一边BC固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（）A水的部分始终呈棱柱状B水面四边形EFGH的面积为定值C棱11A D始终与水面EFGH平行D若1EAA，1FBB，则AEBF是定值9 （ 2020石家庄市 河北正中实验中学高二月考）一副三角板由一块有一个内角为60的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，90 ,BF60 ,45 ,ADBCDE，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥FCAB，取BC中点O与AC中点M，则下列判断中正确的是（）A直线BC 面OFMBAC与面OFM所成的角为定值C设面ABF面MOFl，则有lABD三棱锥FCOM体积为定值 .10 （2020全国高三其他模拟 （文） 如图所示， 外层是类似于 “ 甜筒冰淇淋 ” 的图形，上部分是体积为10 15的半球， 下面大圆刚好与高度为6的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A10B18C30D40（3） 填空题11（ 2020 江苏 9）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是3cm12 （2019?新课标，理16 文 16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体1111ABCDA B C D ，挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E ，F ，G，H ，分别为所在棱的中点，6ABBCcm，14AAcm ，3 D打印所用原料密度为30.9/gcm， 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g 13 （2019?新课标，理16 文 16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2 是一个棱数为48 的半正多面体， 它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1 则该半正多面体共有个面，其棱长为14 （2021 黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期末（文） ）世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米， 底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的 .若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为_米.15 （2020山东日照市 日照一中高三月考）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB底面BCD，BCCD，且3ABCD，2BC，利用张衡的结论可得球O的表面积为 _.16 （2020全国高三专题练习（文） 九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法显然，正方体的内切球同时也是“牟合方盖 ” 的内切球因此，用任意平行于水平面的平面去截“ 牟合方盖 ” ，截面均为正方形，平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆结合祖暅原理，两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等若正方体的棱长为2，则 “ 牟合方盖 ” 的体积为 _17 （2020 全国高一） 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒， 俗称 “ 粽子 ” ，古称 “ 角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_（4） 解答题18 （2021河南濮阳市 高一期末） 我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160dm3.（ ）求正方体石块的棱长；（ ）若将图（ 2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积.19 （2020全国高三专题练习（文）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用).已建的仓库的底面直径为12m， 高3m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来增加3m(高不变)；二是高度增加3m(底面直径不变).（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？20 （2020合肥市第九中学高二月考）如图，在半径为10 3m的半圆形（其中O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在半圆的直径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（注：不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长(m)BCx，圆柱的侧面积为2mS、体积为3mV.（1）分别写出圆柱的侧面积S和体积V关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，才能使得圆柱的侧面积S最大？。