圆锥曲线中的最值问题.doc

圆锥曲线中的最值问题1、回到定义例1、已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值略解：（1）A为椭圆的右焦点作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，∴.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC|∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P"位置时，|PB| -|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为10+|BC|=；当P到P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|= 回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。

2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短解：设抛物线上的点，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离当时，，故所求点为例3、已知一曲线，（１）设点A的坐标为，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离 |PA|；（２）设点A的坐标为（a,0）a∈R，求曲线上点到点A距离最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式解：（1）设M（x,y）是曲线上任意一点，则 ∵ x≥0 ∴　所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是（2）设M（x,y）是曲线上任意一点，同理有　　　　 综上所述，有3、运用函数的性质例4、在△ABC中，，，的对边分别为a,b,c，且c=10, ，P为△ABC内切圆上动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和最大值与最小值解：由∵　　∴　　∴△ABC为Rt△由C=10，且知　a=6 b=8设△ABC内切圆半径为r，如图建立直角坐标系，则Rt△ABC的内切圆M的方程为：设圆M上动点P（x,y）()，则P点到顶点A，B，C的距离的平方和为　　　＝88-4x∵点P在内切圆M上，，于是　例5、直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围。

略解：设A（x1,y1），B（x2,y2），M（x0,y0），将y=kx+1代入x2-y2=1得（1-k2)x2-2kx-2=0,由题意，△>0且x1+x2<0,x1x2>0,解之得,且M,又由P（-2，0），M，Q（0，b）共线，得，即下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在上是减函数，可得例6、已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值略解：设P（2cosθ,sinθ），(0<θ<л/2),点P到直线AB：x+2y=2的距离∴所求面积的最大值为 本例利用三角函数的有界性反过来，有些代数最值问题可以转化为解析几何问题，利用几何直观来解决，如参考练习中的54、判别式法例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为，，那么，①由题意，得 ②，又AB的中点M（x,y）到y轴的距离为③，将① ③ 代入② 整理得④，∵　为实数，故　△＝又∵　x>0得⑤，当时，△＝０　由④解得⑥，，可得⑦，由 ⑥，⑦可得，，由①即得相应的，故AB的中点M距y轴最短距离为，且相应的中点坐标为或。

法二：　　　∴　∴　∵　　① 　②由①－②２得　③ ①＋③得　④④代入①得　　当且仅当　　　　时等式成立∴　　　　说明：此法即为下面的基本不等式法5、利用基本不等式例8、已知椭圆，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点求：（1）|PF1||PF2|的最大值；（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值略解：设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4，|PF1||PF2|=mn≤=4.|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|≥42-2×4=8参考练习：1、 过椭圆E：（a>b>0）上的动点P向圆O：x2+y2=b2引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于M，N两点求△MON的面积的最小值2、 设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标所求点为）3、P为椭圆上的一个动点，它与长轴端点不重合，，点F1和F2分别是双曲线的左右焦点，ф=∠F1PF2,（1）求tg ф的表达式；（用a及描述P位置的一个变量来表示）（2）当a固定时求ф的最小值ф0；（3）当a在区间上变化时，求ф0的取值范围。

4、已知抛物线的方程为，点A、B及P（2,4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．    (1)求证：直线AB的斜率为定值；（2）    (2)当直线AB在ｙ轴上的截距为正时，求△PAB面积的最大值．（最大值为，当b=时取到。