2022年同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章导数与微分.pdf

资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数4、 会求分段函数的导数5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数 2. 1 导数概念一、引例1直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为s s 是 t 的函数s f(t)求动点在时刻t0的速度考虑比值0000)()(tttftfttss这个比值可认为是动点在时间间隔t t0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 tt00取精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档比值00)()(tttftf的极限如果这个极限存在设为 v即00)()(lim0tttftfvtt这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2切线问题设有曲线C 及 C 上的一点 M在点 M 外另取 C 上一点 N作割线 MN当点 N 沿曲线 C趋于点 M 时如果割线绕点旋转而趋于极限位置MT直线就称为曲线有点处的切线设曲线 C 就是函数 y f(x)的图形现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0f(x0)处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y)于是割线MN 的斜率为0000)()(tanxxxfxfxxyy其中为割线 MN 的倾角当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0如果当 x 0时上式的极限存在设为 k即00)()(lim0 xxxfxfkxx存在则此极限k 是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里 k tan 其中是切线 MT 的倾角于是通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率的直线MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限00)()(lim0 xxxfxfxx令x x x0则y f(x0 x) f(x0) f(x) f(x0) xx0相当于x0于是00)()(lim0 xxxfxfxx成为xyx0lim或xxfxxfx)()(lim000定义设函数 y f(x)在点 x0的某个邻域内有定义当自变量 x 在 x0处取得增量x(点 x0 x仍在该邻域内)时相应地函数y 取得增量y f(x0 x) f(x0) 如果y 与x 之比当x0 时的极限存在则称函数 y f(x)在点 x0处可导并称这个极限为函数y f(x)在点 x0处的导数记为0|xxy即xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档也可记为0|xxy0 xxdxdy或0)(xxdxxdf函数 f(x)在点 x0处可导有时也说成f(x)在点 x0具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有hxfhxfxfh)()(lim)(0000000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢” 问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限xxfxxfx)()(lim000不存在就说函数 y f(x)在点 x0处不可导如果不可导的原因是由于xxfxxfx)()(lim000也往往说函数y f(x)在点 x0处的导数为无穷大如果函数y f(x)在开区间 I 内的每点处都可导就称函数 f(x)在开区间I 内可导这时对于任一 xI都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数y f(x)的导函数记作y)(xfdxdy或dxxdf)(导函数的定义式xxfxxfyx)()(lim0hxfhxfh)()(lim0f (x0)与 f (x)之间的关系函数 f(x)在点 x0处的导数 f (x)就是导函数f (x)在点 x x0处的函数值即0)()(0 xxxfxf导函数 f (x)简称导数而 f (x0)是 f(x)在 x0处的导数或导数f (x)在 x0处的值左右导数所列极限存在则定义f(x)在0 x 的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(0000f(x)在0 x 的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(0000如果极限hxfhxfh)()(lim000存在则称此极限值为函数在x0的 左导数如果极限hxfhxfh)()(lim000存在则称此极限值为函数在x0的 右导数导数与左右导数的关系Axf)(0Axfxf)()(00精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档2求导数举例例 1求函数f(x) C（C 为常数）的导数解hxfhxfxfh)()(lim)(00lim0hCCh即(C ) 0例 2求xxf1)(的导数解hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(002001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh例 3求xxf)(的导数解hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)(xxhxxhxhhhh211lim)(lim00例 2求函数f(x) xn(n 为正整数 )在 x a 处的导数解 f (a)axafxfax)()(limaxaxnnaxlimaxlim (xn 1axn 2an 1) nan 1把以上结果中的a 换成 x 得 f (x) nxn 1即(xn)nxn 1(C)021)1(xxxx21)(1)(xx更一般地有 (x )x1其中为常数例 3求函数f(x) sin x 的导数解f (x)hxfhxfh)()(lim0hxhxhsin)sin(lim02sin)2cos(21lim0hhxhhxhhhxhcos22sin)2cos(lim0即(sin x)cos x用类似的方法可求得(cos x )sin x例 4求函数f(x)a x(a0 a1) 的导数解f (x)hxfhxfh)()(lim0haaxhxh0lim精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档haahhx1lim0tah1令)1 (loglim0ttaatxaaeaxaxlnlog1特别地有 (ex) ex例 5求函数f(x) logax (a0 a1) 的导数解hxhxhxfhxfxfaahhlog)(loglim)()(lim)(00hxahahahxhxxhhxxxhxh)1(loglim1)1(loglim1)(log1lim000axexaln1log1解hxhxxfaahlog)(loglim)(0)1(log1lim0 xhhahhxahxhx)1 (loglim10axexaln1log1即axxaln1)(log特殊地xx1)( l naxxaln1)(logxx1)(ln3单侧 导数极限hxfhxfh)()(lim0存在的充分必要条件是hxfhxfh)()(lim0及hxfhxfh)()(lim0都存在且相等f(x)在0 x 处的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(00f(x)在0 x 处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(00导数与左右导数的关系函数 f(x)在点 x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f(x0) 和右导数 f(x0)都存在且相等如果函数 f(x)在开区间 (a, b)内可导且右导数 f(a) 和左导数 f(b)都存在就说 f(x)有闭区间 a, b上可导精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档例 6求函数f(x)x|在 x 0处的导数解1|lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh1|lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh因为 f(0) f(0)所以函数 f(x) |x|在 x 0 处不可导四、导数的几何意义函数 y f(x)在点 x0处的导数 f (x0)在几何上表示曲线y f(x)在点 M(x0, f(x0)处的切线的斜率即f (x 0) tan 其中是切线的倾角如果 y f(x)在点 x0处的导数为无穷大这时曲线 y f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x x0为极限位置即曲线 y f(x)在点 M(x0, f(x0)处具有垂直于x轴的切线x x0由直线的点斜式方程可知曲线 y f(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为y y0f (x0)(x x0)过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y f(x)在点 M 处的法线如果f (x0) 0法线的斜率为)(10 xf从而法线方程为)()(1000 xxxfyy例 8求等边双曲线xy1在点)2,21(处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解21xy所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121xxk41112kk所求切线方程为)21(42xy即 4x y 4 0所求法线方程为)21(412xy即 2x 8y 15 0例 9 求曲线xxy的通过点 (04)的切线方程解 设切点的横坐标为x0则切线的斜率为0212302323)()(0 xxxxfxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档于是所求切线的方程可设为)(230000 xxxxxy根据题目要求点(04)在切线上因此)0(2340000 xxxx解之得 x04 于是所求切线的方程为)4(42344xy即 3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数 y f(x)在点 x0处可导即)(lim00 xfxyx存在则00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx这就是说函数 y f(x)在点 x0处是连续的所以如果函数 y f(x)在点 x 处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7 函数3)(xxf在区间 (, )内连续但在点 x 0 处不可导这是因为函数在点x 0 处导数为无穷大hfhfh)0()0(lim0hhh0lim。