2024-2025学年陕西省西安市长安三中高一（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年陕西省西安市长安三中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数z=1−i5i3，则z−的虚部为(    )A. 1 B. −1 C. i D. −i2.已知点A(1,0)，B(2,−1)，则与向量AB方向相反的单位向量为(    )A. (− 22, 22) B. (1,−1) C. (3,1) D. (3 1010, 1010)3.已知向量a=(4,2)，b=(1,m)，若a⊥b，则实数m=(    )A. 2 B. −2 C. 12 D. −124.在△ABC中，A=60°，AC=3，BC=3 62，则B=(    )A. 30° B. 45° C. 60° D. 60°或120°5.已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，A表示点，则下列命题正确的是(    )A. 若直线m上有无数个点在平面α内，则m//αB. 若m⊂α，n⊂β，且α//β，则m//nC. 若m⊂α，n⊂β，则m//nD. 若α∩β=m，且A∈α，A∈β，则A∈m6.在平行四边形ABCD中，点M，N满足CM=2MD，BN=3NC，则MN等于(    )A. 13AB+34AD B. 13AB−34AD C. −23AB+14AD D. 23AB−14AD7.“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如图所示.其中正方形ABCD的边长为4，点E，O，G分别是线段AB，AC，OC的中点，则DE⋅BG=(    )A. −10B. 10C. −14D. 148.如图，边长为1的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折起，使B，C，D三点重合于点P，则三棱锥P−AEF的最短的高长为(    )A. 13 B. 23 C. 34 D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.下列说法正确的是(    )A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C. 直四棱柱是长方体 D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥10.已知z1，z2都是复数，则下列结论错误的是(    )A. 若|z1|=|z2|，则z1=±z2 B. 若z1+z2为实数，则z1−z2为纯虚数C. 若z1z2=0，则z1=z2=0 D. 若z1与z2互为共轭复数，则|z1z2|=|z1||z2|11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则下列说法正确的是(    )A. 直线BC1与B1D1所成的角为60° B. 直线BD与CA1所成的角为60°C. 平面BA1C1⊥平面ABC1D1 D. 平面BA1C1与平面ABCD所成的角大于45°三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积        ．13.在边长为2的正方形ABCD中，挖去一个以AB为直径的半圆，再将所得平面图形(如图)以线段CD的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为______．14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60°，c=4，若△ABC有两解，则b的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为(1,−2)，(3,1)．(1)求|z1z2|；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．16.(本小题15分)已知平面向量a与b的夹角为3π4，且|a|=1，|b|= 2．(1)求向量3a+2b的模；(2)若(a+2b)⊥(ka−b)，求实数k的值；(3)设λ为实数，求|a−λb|的最小值．17.(本小题15分)如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．(1)求证：AN//平面DBEF；(Ⅱ)求证：平面AMN//平面DBEF．18.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=4，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点．(Ⅰ)求证：AM⊥PC；(Ⅱ)求直线AC与平面PCD所成角的正切值．19.(本小题17分)已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且sinCsinA+sinB=a−bb+c．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)设△ABC的面积为2 3，(i)已知M为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AM长的最小值；(ii)求△ABC的内角A的角平分线AN长的最大值．参考答案1.B 2.A 3.B 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.ABD 10.ABC 11.AD 12.2 2 13.4π3 14.(2 3,4) 15.(1)由已知条件可得：z1=1−2i，z2=3+i，∴z1z2=(1−2i)(3+i)=3+i−6i−2i2=5−5i，∴|z1z2|= 52+(−5)2=5 2；(2)∵z1+az2=1−2i+a(3+i)=(3a+1)+(a−2)i在复平面上对应的点在第四象限，∴3a+1>0a−2<0，解得−13