2022年九年级数学上册第二十四章圆教案人教新课标版.pdf

第二十四章圆单元要点分析教学内容 1本单元数学的主要内容（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，?圆和圆的位置关系（3）正多边形和圆（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积 2本单元在教材中的地位与作用学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线圆的有关性质通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程教学目标 1知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、?弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，?探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；?理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算 2过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动?了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，?让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 47 页（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，?使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力（5）探索弧长、 扇形的面积、 ?圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义 3情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望教学重点 1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其运用 2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对的弦也相等及其运用 3在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用 4半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径及其运用 5不在同一直线上的三个点确定一个圆 6直线 L 和 O相交dr 及其运用 7圆的切线垂直于过切点的半径及其运用 8?经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题 9从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，?这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用 10两圆的位置关系：d 与 r1和 r2之间的关系：外离dr1+r2；外切d=r1+r2；相交r2-r1dr1+r2；内切d=r1-r2；内含dr ；点 P在圆上d=r；点 P在圆内dr；点 P在圆上d=r；点 P在圆内dr 点 P在圆上d=r 点 P在圆内dr点 P在圆外； 如果 d=r点 P在圆上； 如果 dr 点 P 在圆上d=r 点 P在圆内dr 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 47 页AlBABACEDOGF (1) (2) (3) （3）作法：连接AB 、BC ；分别作线段AB 、BC的中垂线DE和 FG ，DE与 FG相交于点O ；以 O为圆心，以OA为半径作圆，O就是所要求作的圆，如图3 所示在上面的作图过程中，因为直线DE与 FG只有一个交点O，并且点O到 A、B、C?三个点的距离相等 （中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过 A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆即：不在同一直线上的三个点确定一个圆也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆证明：如图，假设过同一直线L 上的 A、B、C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既段AB的垂直平分线L1， 又段BC的垂直平分线L2，?即点 P为 L1与 L2点，而 L1L，L2L，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾所以，过同一直线上的三点不能作圆上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立这种证明方法叫做反证法在某些情景下，反证法是很有效的证明方法例 1某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心l2l1BACP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 47 页mBACEDOF分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心作法：（ 1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段；（2）作两线段的中垂线，相交于一点则 O就为所求的圆心三、巩固练习教材 P100 练习 1、2、3、4四、应用拓展例 2如图，已知梯形ABCD中， AB CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高 27cm ，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1： 10）分析：要求作一个圆经过A、B、C、D四个点，应该先选三个点确定一个圆，?然后证明第四点也在圆上即可要求半径就是求OC或 OA或 OB ，因此， ?要在直角三角形中进行，不妨设在RtEOC中，设 OF=x ，则 OE=27-x 由 OC=OB 便可列出， ?这种方法是几何代数解作法分别作DC 、AD的中垂线L、m ，则交点O为所求 ADC的外接圆圆心ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴OB=OA ，点 B也在 O上 O为等腰梯形ABCD 的外接圆设 OE=x ，则 OF=27-x， OC=OB 222215(27)24xx解得： x=20 OC=221520=25，即半径为25m 五、归纳总结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：1 点和圆的位置关系：设O的半径为r ，点 P到圆心的距离为d，则;.PdrPdrPdr点在圆外点在圆上点在圆内 2不在同一直线上的三个点确定一个圆 3三角形外接圆和三角形外心的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 47 页 4反证法的证明思想 5以上内容的应用六、布置作业 1教材 P110 复习巩固 1 、2、3 2选用课时作业设计24.2 与圆有关的位置关系( 第 2 课时 ) 教学内容 1直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；?直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念 2设 O的半径为r ，直线 L 到圆心 O的距离为d 直线 L和 O相交dr 3切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 5应用以上的内容解答题目教学目标（1）了解直线和圆的位置关系的有关概念（2）理解设 O的半径为r ，直线 L 到圆心 O的距离为d，则有：直线 L 和 O相交dr（3）理解切线的判定定理：理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的d=r直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理重难点、关键 1重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目 2难点与关键： ?由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价教学过程一、复习引入（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系设O的半径为r ，点 P到圆心的距离OP=d ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 47 页(a)rdPO(b)rdPO(c)rdPO则有：点P在圆外dr，如图（ a）所示；点 P在圆上d=r，如图（ b）所示；点 P在圆内dr，如图（ c）所示二、探索新知前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线L 呢？它是否和圆还有这三种的关系呢？（学生活动）固定一个圆，把三角尺的边缘运动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？（老师口答，学生口答）直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离（老师板书）如图所示：ll(a)(b)相离相切相交(c)l如图（ a），直线L 和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线如图（ b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，?这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点如图（ c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离我们知道，点到直线L 的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D 的距离， ?按照这个定义，作出圆心O到 L 的距离的三种情况？（学生分组活动）：设O的半径为r ，圆心到直线L 的距离为d， ?请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？老师点评直线L 和 O相交dr，如图（ c）所示因为 d=r直线 L 和 O相切，这里的 d 是圆心 O到直线 L 的距离， 即垂直， 并由 d=r就可得到L经过半径r 的外端，即半径OA的 A点，因此，很明显的，?我们可以得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（学生分组讨论）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是O的切线，你应该如何证明？（老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2） ?过这点的半径垂直于直线例 1如图，已知RtABC的斜边 AB=8cm ，AC=4cm （1）以点 C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与 C相切？为什么？（2）以点 C为圆心，分别以2cm和 4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？分析： （1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与 C相切， ?那么这条半径应垂直于直线AB ，并且 C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可（2）用 d 和 r 的关系进行判定，或借助图形进行判定解：（ 1）如图 24-54 ：过 C作 CD AB ，垂足为D在 Rt ABC中 BC=2284=3CD=4 348=23因此，当半径为23cm时， AB与 C相切理由是：直线AB为 C的半径 CD的外端并且CD AB ，所以 AB是 C的切线（2）由（ 1）可知，圆心C到直线 AB的距离 d=23cm，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 47 页BACDO当 r=2 时， dr， C与直线 AB相离；当 r=4 时， dr， C与直线 AB相交刚才的判定定理也好，或者例1 也好，都是不知道直线是切线，而判定切线，反之，如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？实际上，如图，CD是切线， A是切点，连结AO与 O于 B，那么 AB是对称轴，所以沿 AB对折图形时， AC与 AD重合，因此，BAC= BAD=90 BACDO因此，我们有切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径三、巩固练习教材 P102 练习， P103 练习四、应用拓展例 2如图， AB为 O的直径， 。