河南省2019年高考理科数学试题及答案.pdf

1 河南省 2019 年高考理科数学试题及答案（满分 150 分，考试时间120 分钟）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合24260MxxNx xx，则MN= A43xxB42 xxC22xxD23xx2设复数z满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A22+11()xyB221(1)xyC22(1)1yxD22( +1)1yx3已知0.20.32log 0.220.2abc，则AabcBacbCcabDbca4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512 0.618 ，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A165 cm B175 cm C 185 cm D190 cm 5函数 f(x)=2sincosxxxx在,的图像大致为AB2 CD6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ” ，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是A516B1132C2132D11167已知非零向量a，b 满足| 2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为A6B3C23D568如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入AA=12ABA=12ACA=112ADA=112A9记nS 为等差数列na的前 n 项和已知4505Sa，则A25nanB310nanC228nSnnD2122nSnn10 已知椭圆C 的焦点为121,01,0FF() ，()， 过 F2的直线与C 交于 A， B 两点若22|2 |AFF B，1| |ABBF，则 C 的方程为A2212xyB22132xyC22143xyD22154xy3 11关于函数( )sin |sin|fxxx有下述四个结论： f(x)是偶函数f(x)在区间（2，）单调递增 f(x)在,有 4 个零点f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是ABCD12已知三棱锥P- ABC 的四个顶点在球O 的球面上， P A=PB=PC， ABC 是边长为2 的正三角形，E，F 分别是 PA， AB 的中点， CEF=90，则球O 的体积为A68B64C62D6二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。

13曲线23()exyxx在点(0)0，处的切线方程为_14记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和若214613aaa，则 S5=_15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制 （当一队赢得四场胜利时，该队获胜， 决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“ 主主客客主客主” 设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41 获胜的概率是 _16已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，过 F1的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点若，则 C 的离心率为 _三、解答题（共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 为选考题，考生根据要求作答一）必考题（共60 分）17（本小题共12 分）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC（1）求 A；（2）若22abc，求 sinC18（本小题共12 分）如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2， BAD=60， E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点4 （ 1）证明： MN平面 C1DE；（ 2）求二面角A- MA1- N 的正弦值19（本小题共12 分）已知抛物线C：y2=3x 的焦点为F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为A，B，与 x 轴的交点为P（ 1）若 |AF|+|BF|=4，求 l 的方程；（ 2）若求|AB|20（本小题共12 分）已知函数( )sinln(1)f xxx，( )fx为( )f x的导数证明：（1）( )fx在区间( 1,)2存在唯一极大值点；（2）( )f x有且仅有2 个零点21（本小题共12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、 乙两种新药， 希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和 ，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，(0,1,8)ip i表示 “ 甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效” 的概率，则00p，81p，11iiiipapbpcp(1,2,7)i，5 其中(1)aP X，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8(i)证明：1iipp(0,1,2,7)i为等比数列；(ii) 求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题（共10 分。

请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22 选修 44：坐标系与参数方程（ 10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt，（t 为参数） 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos3sin110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到l 距离的最小值23 选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b， c 为正数，且满足abc=1证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca6 参考答案一、选择题1C2C3 B4B5D6A7B8A9A10B11C12D二、填空题13y=3x141213150.18 162 三、解答题17解： （1）由已知得222sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得222bcabc由余弦定理得2221cos22bcaAbc因为0180A，所以60A（ 2）由（ 1）知120BC，由题设及正弦定理得2 sinsin 1202sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos602C由于0120C，所以2sin602C，故sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC62418解：（ 1）连结 B1C，ME因为 M，E分别为 BB1，BC的中点，所以 MEB1C，且 ME=12B1C又因为 N为A1D的中点，所以ND=12A1D由题设知 A1B1DC，可得 B1CA1D，故 MEND，7 因此四边形 MNDE 为平行四边形，MNED又 MN平面 EDC1，所以 MN平面 C1DE（ 2）由已知可得 DE DA以 D为坐标原点，DA的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz，则(2,0,0)A，A1(2，0，4)，(1, 3, 2)M，(1,0,2)N，1(0,0,4)A A，1( 1,3,2)A M，1( 1,0,2)A N，(0,3,0)MN设( , , )x y zm为平面 A1MA的法向量，则1100A MA Amm，所以32040 xyzz，可取(3,1,0)m设( , , )p q rn为平面 A1MN的法向量，则100MNA N，nn所以3020qpr，可取(2,0, 1)n于是2 315cos,|525m nm nm n，所以二面角1AMAN的正弦值为1058 19解：设直线11223:,2lyxt A x yB xy（ 1）由题设得3,04F，故123|2AFBFxx，由题设可得1252xx由2323yxtyx，可得22912(1)40 xtxt，则1212(1)9txx从而12(1)592t，得78t所以l的方程为3728yx（ 2）由3APPB可得123yy由2323yxtyx，可得2220yyt所以122yy从而2232yy，故211,3yy代入C的方程得1213,3xx故4 13|3AB20解： （1）设( )( )g xf x，则1( )cos1g xxx，21sin()(1xxgx. 当1,2x时，( )g x单调递减， 而(0)0,()02gg， 可得( )g x在1,2有唯一零点，设为. 则当( 1,)x时，( )0g x；当,2x时，( )0g x. 所以( )g x在( 1,)单调递增，在,2单调递减，故( )g x在1,2存在唯一极大9 值点，即( )f x在1,2存在唯一极大值点 . （2）( )f x的定义域为( 1,). （i）当( 1,0 x时，由（ 1）知，( )f x在(1,0)单调递增，而(0)0f ，所以当( 1,0)x时，( )0f x，故( )f x在(1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0 x是( )f x在( 1,0的唯一零点 . （ii）当0,2x时，由（ 1）知，( )f x在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0f ，02f ，所以存在,2，使得()0f ，且当(0,)x时，( )0f x；当,2x时，( )0f x.故( )fx在(0,)单调递增，在,2单调递减. 又(0)=0f，1ln 1022f，所以当0,2x时，( )0f x.从而，( )f x在0,2没有零点 . （iii ）当,2x时，()0f x，所以( )f x在,2单调递减 .而02f，( )0f，所以( )f x在,2有唯一零点 . （iv）当( ,)x时，ln(1)1x，所以( )f x0，从而( )f x在( ,)没有零点 . 综上，( )f x有且仅有 2个零点 . 21解： X 的所有可能取值为1,0,1. (1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P XP XP X，所以X的分布列为10 （2） （i）由（ 1）得0.4,0.5,0.1abc. 因此11=0.4+0.5 +0.1iiiipppp，故110.10.4iiiipppp，即114iiiipppp. 又因为1010ppp，所以1(0,1,2,7)iippi为公比为4，首项为1p的等比数列（ii）由（ i）可得8887761008776101341ppppppppppppppp. 由于8=1p，故18341p，所以44433221101411.3257pppppppppp4p表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p， 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 22解： （1）因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以 C的直角坐标方程为221(1)4yxx. l的直角坐标方程为23110 xy. （2）由（ 1）可设 C的参数方程为cos ,2sinxy（为参数，）. C上的点到l的距离为4cos11|2cos2 3sin11|377. 11 当23时，4cos113取得最小值 7，故 C上的点到l距离的最小值为7. 23解： （1）因为2222222,2,2abab bcbc caac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc. 所以222111abcabc. （2）因为, , a b c为正数。