第12 讲 矩阵分解 (2).pdf

矩阵理论及其应用CQU第十二讲 矩阵分解(2)李东重庆大学 数学与统计学院本节内容2CQU矩阵的最大秩分解矩阵的QR分解本节内容3CQU矩阵的最大秩分解矩阵的QR分解矩阵的最大秩分解4CQU上节讨论的是方阵的分解，现在介绍一般矩阵（长矩阵）的分解目标：将矩阵𝐵 ∈ 𝐿𝑛×𝑜分解成两个与A同秩的矩阵的乘积定理6.3.1 设𝐵 ∈ 𝐿𝑛×𝑜,且rank(A)=𝑟 ≤ min(𝑛,𝑜)，经过有限次初等行变换可把A化成如下矩阵：矩阵的最大秩分解5CQUሚ𝐵𝑟=𝑘1𝑘2𝑘𝑟 0⋯01∗ ⋯∗0∗ ⋯∗0∗ ⋯∗ 0⋯000⋯01∗ ⋯∗0∗ ⋯∗ ⋯⋮⋯⋮⋯⋮⋯ 0⋯000⋯000⋯01∗ ⋯∗ 0⋯000⋯000⋯000⋯0 ⋱⋮⋱⋮⋱⋮⋱ 0⋯000⋯000⋯000⋯0ൢ𝑟行ൡ𝑛 − 𝑟行其中1≤ 𝑘1 0(𝑖 =1,2,…,𝑟)记𝑅 = 𝛼10,𝛼20,…,𝛼𝑟0,𝐿 =𝑘11𝑘12⋯𝑘1𝑟 0𝑘22⋯𝑘2𝑟 ⋮ 0⋮ 0⋱ ⋯⋮ 𝑘𝑟𝑟，令𝑆 = 𝐿𝐸,则𝑅𝐻𝑅 = 𝐹𝑟，𝐵 = 𝑅𝑆。

󠄀 󠄀 󠄀矩阵的QR分解22CQU由于最大秩分解𝐵 = 𝐷𝐸不唯一，于是𝐵 = 𝑅𝑆也不唯一，但限制条件后，QR分解是唯一的推论1 设A∈ 𝐿𝑛×𝑜，𝑟𝑏𝑜𝑘(𝐵) = 𝑟，则𝐵可以唯一地分解为𝐵 = 𝑅𝑆其中𝑅 ∈ 𝐿𝑛×𝑟,且𝑅𝐻𝑅 = 𝐹𝑟, 𝑆 ∈ 𝐿𝑟×𝑜为具有正对角元素的上三角阵证明：将A的列向量正交化、标准化，可得𝐵 = 𝑅𝑆矩阵的QR分解23CQU若𝑅、𝑆满足条件，下证明唯一性假设存在两组分解A = 𝑅𝑆和𝐵 = 𝑅1𝑆1，则𝑅 = 𝑅1𝑆1𝑆−1= 𝑅1𝐿𝐿 = 𝑆1𝑆−1是具有正对角元素的r级上三角阵由于𝑅𝐻𝑅 = 𝐿𝐻𝑅1𝐻𝑅1𝐿 = 𝐿𝐻𝐿 = 𝐹𝑟说明𝐿为酉阵，则𝐿 =𝐹𝑟于是𝑆1= 𝑆, 𝑅1= 𝑅矩阵的QR分解24CQU推论2 设A∈ 𝐿𝑛×𝑜，𝑟𝑏𝑜𝑘(𝐵) = 𝑟，则𝐵可以唯一地分解为𝐵 = 𝑀𝑅其中𝑅 ∈ 𝐿𝑟×𝑜,且𝑅𝐻𝑅 = 𝐹𝑟, 𝑀 ∈ 𝐿𝑛×𝑟为具有正对角元素的下三角阵。

利用共轭转置+推论1可以得出证明矩阵的QR分解25CQU例2 求A =112 121 1 21 33 3的QR分解解：由于rank(A)=3,所以最大秩分解中𝐷 = 𝐵,𝐸 = 𝐹.取𝑣1= (1,1,1,2)𝑇, 𝑣2= (1,2,1,3)𝑇, 𝑣3= (2,1,3,3)𝑇，将其标准正交化(i) 𝛼10=𝛼1 |𝛼1|=𝑣1 |𝑣1|= (1 7,1 7,1 7,2 7)𝑇矩阵的QR分解26CQU(ii) 𝛼2=𝑣2− (𝑣2,𝛼10)𝛼10=(1,2,1, 3)𝑇−10 7(1 7,1 7,1 7,2 7)𝑇= −3 7,4 7,−3 7,1 7𝑇故 𝛼20=𝑣2 |𝑣2|= (−3 35,4 35,−3 35,1 35)𝑇类似可得𝛼3= −2 5,1 5,3 5, −1 5𝑇，𝛼30= (−2 15,1 15,3 15,−1 15)𝑇.矩阵的QR分解27CQU所以𝑅 = 𝛼10,𝛼20,𝛼30=1 7−3 35−2 15 1 74 351 15 1 7 2 7−3 35 1 353 15 1 15，对比（P24,2.4）可得矩阵的QR分解28CQU𝐿 =|𝛼1|(𝑣2,𝛼10)(𝑣3,𝛼10)0|𝛼2|(𝑣3,𝛼20)00|𝛼3|=710 712 7035 7−8 350015 5于是𝑆 = 𝐿𝐸=710 712 7035 7−8 350015 5.本节习题29CQUP149：3 4(只做3(1))。