小升初数学常考十大内容比和比例.docx

小升初数学常考十大内容比和比率小升初数学常考十大内容 比和比率1 、比和比率的意义比的意义是：两个数相除又叫做两个数的比 ,比率的意义是：表示两个比相等的式子叫做比率比率是比的结果， 比是比率的基础 他们都是衡量数量关系的一种工具比和比率，是小学数学中的一个重要内容， 也是学习更多数学知识的重要基础 . 有了“比”和“比率”这两个看法和表达方式，对于办理倍数、分数等问题， 要方便灵巧得多 . 比和比率的相关知识在生活中用特别广泛，我们在今后还要进行更广泛更深入的学习因此，要为今后的学习打下牢固的基础2、比和比率的基本种类及解法（一）比和比率的分配最基本的比率问题是求比或比值， 从已知一些比也许其他数量关系，求出新的比 .例 1、甲、乙、丙三人同去商场购物，甲花销数的 乙花销数的 ，乙花销数的 等于丙花销数的 ，结果丙比甲多花 93 元，问他们三人共花了多少钱？解、依照比率与乘法的关系甲数× =乙数×即： 甲数：乙数 = ： =2:3乙数× =丙数× / 即： 乙数：丙数 = ： =16:21连比后是甲∶乙∶丙 =（2×16）∶ (3 × 16) ∶(3 ×21 )=32 ∶48∶63.三人共花了 93÷（ 63-32 ）×（ 32+48+63）=429（元）答：甲、乙、丙三人共花了 429 元.下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量， 若是知道这些数量之比， 我们就能求出这些数量.例 2 一个分数，分子与分母之和是 100. 若是分子加 23，分母加32，新的分数约分后是 ，原来的分数是多少？解：新的分数，分子与分母之和是（ 10+23+32），而分子与分母之比 2∶3. 因此分子 =（100+23+32）× =62分母 =（100+23+32）× =93原来分数是 =答：原来分数是例 3 加工一个零件，甲需 3 分钟，乙需分钟，丙需 4 分钟，现有1825 个零件要加工， 为尽早完成任务， 甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应依照工作效率之比，按比率分配工作量 .三人工作效率之比是： ： =28:24:21他们分别需要完成的工作量是甲完成 1825×=700（个）乙完成 1825×=600（个）丙完成 1825×=525（个）所需时间是700×3=2100 分钟） =35 小时 .答：甲、乙、丙分别完成 700 个，600 个， 525 个零件，需要 35小时 .（二） 比的变化已知两个数量的比， 当这两个数量发生增减变化后， 自然比也发生变化. 经过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？ .例 4、有一些球，其中红球占 ，当再放入 8 个红球后，红球占总球数的 ，问现在共有多少球？解：其他球的数量没有改变 .增加 8 个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（ 14-5 ）=5∶9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（ 3-1 ）=1∶2=∶9.因此 8 个红球是 =（份） .现在总球数是 8÷×（ 5+9）=224（个）答：现在共有球 224 个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变 . 把 1∶2 写成∶ 9，就是充分利用这一特点 . 本题也能够列出以下方程求解：（ x+8）∶ 2x=5∶9.例 5 张家与李家的收入钱数之比是 8∶5，开支的钱数之比是 8∶3，结果张家结余 240 元，李家结余 270 元. 问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解 .若是他们开支的钱数之比也是 8∶5，那么结余的钱数之比也应是 8∶5. 张家结余 240 元，李家应结余 x 元 . 有240∶x=8∶5，x=150（元） .本质上李家结余 270 元，比 150 元多 120 元. 这就是 8∶5 中 5 份与 8∶3 中 3 份的差，每份是 120÷（ 5-3 ）=60. （元） . 因此可求出张家：开支 60×8=480（元），收入 480+240=720（元）李家：开支 60×3=180（元），收入 180+270=450（元）答：张家收入 720 元，李家收入 450 元.解二：设张家收入是 8 份，李家收入是 5 份. 张家开支的 3 倍与李家开支的 8 倍的钱相同多 .我们画出一个表示图：张家开支的 3 倍是（ 8 份-240 ）× 3.李家开支的 8 倍是（ 5 份-270 ）× 8.从图上能够看出 5×8-8 ×3=16 份，相当于270×8-240 ×3=1440（元） .因此每份是 1440÷16=90（元） .张家收入是 90×8=720（元），李家收入是 90×5=450（元） .本题也能够列出比率式：（8x-240 ）∶（ 5x-270 ）=8∶3.例 6 小明和小强原有的图画纸之比是 4∶3，小明又买来 15张.小强用掉了 8 张，现有的图画纸之比是 5∶2. 问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特别性 .4+3=7，5+2=7，15-8=7. 原来总数分成 7 份，变化后总数仍分成7 份，总数多了 7 张，因此，新的 1 份=原来 1 份+1原来 4 份，新的 5 份， 5-4=1，因此新的 1 份有 15-1 ×4=11（张） .小明原有图画纸 11×5-15=40（张），小强原有图画纸 11×2+8=30（张） .答：原来小明有 40 张，小强有 30 张图画纸 .解二：我们也可采用“假设”方法 . 先要将两个比中的前项化成同一个数（本质上就是通分）4∶3=20∶155∶2=20∶8.假设小强也买来 15× = （张），那么变化后的比仍是 20:15但现在是 20∶ 8，因此这个比的每一份是（ ）÷（ 15-8 ）=小明现有 20× =55（张），原有 55-15=40（张）小强现有 8× =22（张），原有 22+8=30（张）“假设”这一思路是很适用的，希望大家能很好掌握，灵巧运用 . 从课外的角度，我们更应启示小同学善于思虑，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特别性 . 因此我们总是先表达灵巧的解法，利于心算，促进思想 .（三）比率的其他问题比率关系能够用比表示，也能够用分数表示，比方，甲比乙的多 7，这里必定用分数来说，而不能够用比 . 本质上它仍是隐含着比率关系：（甲 -7 ）∶乙 = 2 ∶3.因此，有些分数问题，就是比率问题 . .例 7、有两堆棋子， A 堆有黑子 350 个和白子 500 个， B 堆有黑子 400 个和白子 100 个，为了使 A 堆中黑子占 A 堆的 ，B 堆中黑子占 ，要从 B 堆中拿到 A 堆黑子、白子各多少个？解：要 B 堆中黑子占 ，即黑子与白子之比是 3:1 ，先从 B 堆中拿出黑子 100 个，使余下黑子与白子之比是（ 40-100）∶100＝3∶1.再要从 B 堆拿出黑子与白子到 A 堆，拿出的黑子与白子数量也要保持 3∶1 的比.现在 A 堆已有黑子 350 ＋ 100 ＝ 450 个），与已有白子 500 个，相差 50 个黑子，占 就是两种棋子相同多， 从 B 堆再拿出黑子与白子，要相差 50 个，又要吻合 3∶1 这个比，要拿出白子数是50÷（ 3-1 ）＝ 25（个） .再要拿出黑子数是 25 ×3＝ 75 （个） .答：从 B堆拿出黑子 175 个，白子 25 个.例 8 张、王、李三人共有 108 元，张用了自己钱数的 ，王用了自己钱数的 ，李用了自己钱数的 ，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是 1.张有的钱数是 1÷ =王有的钱数是 1÷ =李有的钱数是 1÷ =这样就可以求出，钢笔价格是108÷（ + + ）=108÷=24（元）张剩下的钱数是 24×（ -1 ）=16（元）李剩下的钱数 24×（ -1 ）=12（元）16+12=28（元）答：张、李两人剩下的钱共 28 元.。