996全国硕士研究生入学统一考试数学三试题.docx

精品名师归纳总结1996 年全国硕士争论生入学统一考试数学三试卷一、填空题 〔 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上 .>〔1> 设方程 确定 是 的函数 , 就 .〔2> 设 , 就 ..〔3> 设 是抛物线 上的一点 , 如在该点的切线过原点 , 就系数应满意的关系是 . 〔4> 设, , ,其中 . 就线性方程组 的解是 .〔5> 设由来自正态总体 容量为 9 的简洁随机样本 , 得样本均值 , 就未知参数 的置信度为 0.95 的置信区间为 .二、挑选题 〔 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分. 每道题给出的四个选项中 , 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 .>〔1> 累次积分 可以写成 〔 > 〔A>〔B>〔C>〔D>〔2> 下述各选项正确选项 〔 >〔A> 如 和 都收敛 , 就 收敛〔B> 收敛 , 就 与 都收敛可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〔C> 如正项级数 发散 , 就〔D> 如级数 收敛, 且 , 就级数 也收敛〔3>设 阶矩阵 非奇特 〔〔A>>,是矩阵的相伴矩阵 , 就 〔 >〔B>〔4>〔C>设有任意两个 维向量组和〔D>, 如存在两组不全为零的数和 , 使 , 就〔 >〔A> 和 都线性相关〔B> 和 都线性无关〔C> 线性无关〔D> 线性相关〔5> 已知 且 , 就以下选项成立的是 〔 > 〔A>〔B>〔C>〔D>三、 〔 此题满分 6 分>设 其 中 有 二 阶 连 续 导 数 , 且.〔1> 求 。

可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〔2> 争论 在 上的连续性 .四、 〔 此题满分 6 分>设函数 , 方程 确定 是 的函数 , 其中 可微 , 连续, 且 . 求 .五、 〔 此题满分 6 分>运算 .六、 〔 此题满分 5 分>设 在区间 上可微 , 且满意条件 . 试证 : 存在 使七、 〔 此题满分 6 分>设某种商品的单价为 时, 售出的商品数量 可以表示成 , 其中均为正数 , 且 .〔1> 求 在何范畴变化时 , 使相应销售额增加或削减 .〔2> 要使销售额最大 , 商品单价 应取何值 .最大销售额是多少 .八、 〔 此题满分 6 分>求微分方程 的通解 .九、 〔 此题满分 8 分>设矩阵 .〔1> 已知 的一个特点值为 3, 试求 〔2> 求矩阵 , 使 为对角矩阵 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结十、 〔 此题满分 8 分>设向量 是齐次线性方程组 的一个基础解系 , 向量 不是方程组的解 , 即 . 试证明 : 向量组 线性无关 .十一、 〔 此题满分 7 分>假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2, 机器发生故障时全天停止工作 , 如一周5 个工作日里无故障 , 可获利润 10 万元。

发生一次故障仍可获得利润 5 万元发生两次故障所获利润 0 元发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元. 求一周内期望利润是多少 .十二、 〔 此题满分 6 分>考虑一元二次方程 , 其中 分别是将一枚色子 〔 骰子 >接连掷两次先后显现的点数 . 求该方程有实根的概率 和有重根的概率 .十三、 〔 此题满分 6 分>假设 是来自总体 X 的简洁随机样本已知 .证明：当 充分大时 , 随机变量 近似听从正态分布 , 并指出其分布参数 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1996 年全国硕士争论生入学统一考试数学三试卷解读一、填空题 〔 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分, 把答案填在题中横线上 .> 〔1> 【答案】【解读】 方法 1：方程 两边取对数得 , 再两边求微分 ,.方法 2： 把 变形得 , 然后两边求微分得,由此可得〔2> 【答案】【解读】由 , 两边求导数有,于是有.〔3> 【答案】 〔 或 >, 任意【解读】对 两边求导得所以过 的切线方程为 即可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结又题设知切线过原点 , 把 代入上式 , 得即由于系数 , 所以 , 系数应满意的关系为 〔 或 >, 任意. 〔4> 【答案】【解读】由于 是范德蒙行列式 , 由 知 . 依据解与系数矩阵秩的关系 , 所以方程组 有唯独解 .依据克莱姆法就 , 对于,易见所以 的解为 , 即 .【相关学问点】克莱姆法就：如线性非齐次方程组或简记为其系数行列式,就方程组有唯独解其中 是用常数项 替换 中第 列所成的行列式 , 即可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结.〔5> 【答案】【解读】可以用两种方法求解：〔1> 已知方差 , 对正态总体的数学期望 进行估量 , 可依据因 , 设有 个样本 , 样本均值 ,有 , 将其标准化 , 由公式 得：由正态分布分为点的定义 可确定临界值 ,进而确定相应的置信区间 .〔2> 此题是在单个正态总体方差已知条件下 , 求期望值 的置信区间问题 .由教材上已经求出的置信区间 ,其中 , 可以直接得出答案 .方法 1： 由题设 , , 可见 查标准正态分布表知分位点此题 , , 因此 , 依据 , 有, 即 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结故 的置信度为 0.95 的置信区间是 .方法 2：由题设 , ,查得, , 代入 得置信区间 .二、挑选题 〔 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分. 每道题给出的四个选项中 , 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 .>〔1> 【答案】 〔D>【解读】 方法 1：由题设知 , 积分区域在极坐标系 中是即是由 与 轴在第一象限所围成的平面图形 , 如右图 .由于 的最左边点的横坐标是 , 最右点的横坐标是 1,下边界方程是 上边界的方程是 , 从而 1的直角坐标表示是故〔D> 正确.方法 2：实行逐步剔除法 . 由于 〔A> 中二重积分的积分区域的极坐标表示为而〔B> 中的积分区域是单位圆在第一象限的部分 , 〔C> 中的积分区域是正方形所以 , 他们都是不正确的 . 故应选 〔D>. 〔2> 【答案】 〔A>【解读】由于级数 和 都收敛 , 可见级数 收敛 . 由不等式可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结及比较判别法知级数 收敛 , 从而 收敛 .又由于 即级数 收敛, 故应选 〔A>.设 , 可知 〔B>不正确 .设 , 可知 〔C>不正确 .设 , 可知 〔D>不正确 .注： 在此题中命题 〔D>“如级数 收敛 , 且 , 就级数 也收敛 . ”不正确 , 这说明：比较判别法适用于正项级数收敛 〔 或级数肯定收敛 >的判别 , 但对任意项级数一般是不适用的 . 这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区分 .〔3> 【答案】 〔C>【解读】相伴矩阵的基本关系式为 ,现将 视为关系式中的矩阵 , 就有 .方法一 ：由 及 , 可得故应选 〔C>.方法二 ：由 , 左乘 得, 即 .故应选 〔C>.〔4> 【答案】 〔D>【解读】此题考查对向量组线性相关、线性无关概念的懂得 . 如向量组 线性无关 , 即如 , 必有 .既然 与 不全为零 , 由此推不出某向量组线性无关 , 故应排除 〔B> 、〔C>.一般情形下 , 对于可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结不能保证必有 及 故 〔A>不正确 . 由已知条件 ,有,又 与 不全为零 , 故 线性相关 .应选 〔D>.〔5> 【答案】 〔B>【解读】依题意因 , 故有 . 因此应选 〔B>.注：有些考生错误的挑选 〔D>. 他们认为 〔D> 是全概率公式 , 对任何大事 都成立 , 但是忽视了全概率公式中要求作为条件的大事 应满意 , 且 是对立大事 .【相关学问点】条件概率公式： .三、 〔 此题满分 6 分>【解读】 〔1> 由于 有二阶连续导数 , 故当 时, 也具有二阶连续导数 , 此时, 可直接运算 , 且 连续。

当 时, 需用导数的定义求 .当 时,当 时, 由导数定义及洛必达法就 , 有.所以〔2> 在 点的连续性要用定义来判定 . 由于在 处, 有可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结.而 在 处是连续函数 , 所以 在 上为连续函数 .四、 〔 此题满分 6 分>【解读】由 可得 .在方程 两边分别对 求偏导数 , 得所以 .于是 .五、 〔 此题满分 6 分>【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘 , 应当用分部积分法 .【解读】 方法 1: 由于所以而可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结,故原式 .方法 2:六、 〔 此题满分 5 分>【分析】由结论可知 , 如令 , 就 . 因此, 只需证明 在内某一区间上满意罗尔定理的条件 .【解读】令 , 由积分中值定理可知 , 存在 , 使,由已知条件 , 有 于是且 在 上可导 , 故由罗尔定理可知 , 存在 使得即【相关学问点】 1. 积分中值定理：假如函数 在积分区间 上连续 , 就在 上至少存在一个点。