七年级角——含课后作业与答案.pdf

角【学习目标】1 .掌握角的概念及角的几种表示方法，并能进行角度的互换；2 .借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3 .掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；4 .掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；5 .了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题.【要点梳理】【要点梳理】【高清课堂：角3 9 7 3 6 4 角的概念：】知识点一、角的概念1 .角的定义：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.如图1 所示，角的顶点是点0,边是射线0 A、0 B.(2)定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2所示，射线0 A 绕它的端点0旋转到0 B 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置0 A 是角的始边，终止位置0 B 是角的终边.要点诠释：(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.(2)平角与周角：如 图 1 所示射线0 A 绕点0旋转，当终止位置0 B 和起始位置0 A 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转，0 B 和 0 A 重合时，所形成的角叫做周角.O A K-Z平角 周角图 1 图22 .角的表示法：角 的 几 何 符 号 用 表 示，角的表示法通常有以下四种:表示方法图示记法适用范围(1)用三个大写字母表示上0BLAOB或乙BOA任 何 情 况 都 适用，表示顶点的字母写在中间(2)用一个大写字母表示上O乙。

以某一点为顶点的 角 只 有 一 个时，可以用顶点表示角(3)用阿拉伯数字表示/Z 1任何情况都适用(4)用希腊字母表示4 Q任何情况都适用要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母.3.角的画法(1)用三角板可以画出3 0、4 5、6 0 、90 等特殊角；(2)用量角器可以画出任意给定度数的角；(3)利用尺规作图可以画一个角等于己知角.知识点二、角的比较与运算1 .角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成3 6 0 等份，每一份就是1的角，1 的-为 1 分，记 作“1 ”，1 的-为 1 秒，记 作“1 这种以度、分、秒为单位的角60 60的度量制，叫做角度制.1 周角=3 6 0 ,1 平角=1 8 0 ,1 =6 0 ,1=6 0 .要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于6 0 时要向高一位进位.2 .角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种.方 法 1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.如比较N A 0 B 和N A O B的大小：如下图，由 图(1)可得N A O B V/A O B；由图(2)可得N A 0 B=N A O B；由图(3)可得/A 0 B /A O B.(1)Q)(3)3 .角的和、差关系如图所示，/A O B 是/I与N2的和，记作：Z A 0 B=Z 1+Z 2；N 1是N A O B 与N 2的差,要点诠释：（1）用量角器量角和画角的一般步骤：对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；重合（一边与刻度尺上的零度线重合）；读数（读出另一边所的度数）.（2）利用三角板除了可以做出3 0、4 5、60、9 0 外，根据角的和、差关系，还可以画出 1 5 ,7 5 ,1 0 5 ,1 2 0 ,1 3 5 ,1 5 0 ,1 65 的角.4 .角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，0 C 是/A0 B 的角平分线，Z A0 B=2 Z A0 C=2 Z B 0 C,Z A0 C=Z B 0 C=-Z AO B.要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样.知识点三、余角和补角1 .定义：一般地，如果两个角的和等于9 0 （直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角.类似地，如果两个角的和等于1 8 0 （平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.2 .性质：（1）同 角（等角）的余角相等.（2）同 角（等角）的补角相等.要点诠释：（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关.（2）一般地，锐 角 a 的余角可以表示为（9 0。

a）,一个角a 的补角可以表示为（1 8 0 -a）.显然一个锐角的补角比它的余角大9 0 .知识点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线0 A 的方向是北偏东 60 ；射线0 B 的方向是南偏西3 0 .这 里 的“北偏东60 ”和“南偏西3 0 ”表示方向的角，就叫做方位角.要点诠释：(1)正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；(2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60 ”一般不说成“东偏北3 0 ”；(3)在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；(4)图中的点0是观测点，所有方向线(射线)都必须以0为端点.知识点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有1 2 个大格，把周角1 2 等分、每个大格对应3 0 的角，分 针 1 分钟转6时针每小时转3 0 ,时 针 1 分钟转0.5 ,利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.【典型例题】类型一、角的比较与运算C1.利用一副三角板上的角，能画出多少个小于1 8 0的角，试一一画出来.【思路点拨】首先发现一副三角板上有3 0 ,4 5 ,60 ,9 0。

这 样 4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于1 8 0 的所有角.【答案与解析】解：除了可以画 3 0 ,4 5 ,60 ,9 0 外，还可画 1 5 ,7 5 ,1 0 5 ,1 2 0 ,1 3 5 ,1 5 0 ,1 65 的七个度数的角，画法如图所示.LAOB=35(5)4 208=150(6)(7)【总结升华】利用一副三角板共可以画出1 1 个度数的角，分别是：3 0 ,4 560 ,9 0 ，1 5 ,7 5 ,1 0 5 ,1 2 0 ,1 3 5 ,1 5 0 ,1 65 .2.计算下列各题：(1)1 5 2 4 9 12+2 0.1 8 ；(2)8 2 -3 6 42 1 5 ；(3)3 5 3 6 4 7 X 9：(4)4 1 3 7 4-3.【答案与解析】解：(1)解法一：V 2 0.1 8 =2 0 1 0 4 8 1 5 2 4 9，1 2z,._+_ 2 O 2 1 O/4 8，/*1 7 2 5 9 60”即:1 5 2 4 9 12+20.1 8 =1 7 3 .解法二：,?1 5 2 4 9 12=1 5 2.8 2 ,:.1 5 2.8 2 +2 0.1 8 =1 7 3 .即：1 5 2 4 9 1 2 +2 0.1 8 =1 7 3 .将 8 2 化为8 1 5 9 6 0 ,则8 1 5 9 6 4.3 6 4 2 1 5 4 5 1 7 4 5 8 2 -3 6 4 2 1 5 =4 5 1 7 4 5 .3 5 3 6 4 7 v 7,-3 1 503 2 4,4 2 3/，4 2 3 =7 3 ,3 2 4 +7 =5 3 1 ,:.3 5 3 6 4 7 X 9=3 2 0 3 1 3.(4)1 3 5 2/2 0z z3)4 1 3 7 J _ _ _ _ _ _1 1_ 9一二(将余数2 化为1 2 0 )1 5 7 1 5 07_ _ _ _叱(将余数V化为6十)6 0 _ _ _ _ _ 6 _0：.4 1 3 7 4-3=1 3 5 2 2 0 .【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算;在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满6 0 进 1 ,满 6 0 进 1 ；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入.举一反三：【变式】计算：(1)2 3 4 5 3 6 +6 6 1 4 2 4 ；(2)1 8 0 -9 8 2 4 3 0 ；(3)1 5 5 0 4 2 X 3；(4)8 8 1 4 4 8 4-4.【答案】(1)2 3 4 5 3 6 +6 6 1 4 24=9 0 ；(2)1 8 0 -9 8 2 4 3 0 =8 1 3 5 3 0 ；(3)1 5 5 0 4 2 X 3=4 7 32 6；(4)8 8 14 48+4=2 2 3 4 2 .3.(2 0 1 6 春龙口市期中)如图，N A 0 B=9 0 ,Z A 0 C=3 0 ,且 0 M 平分N B O C,O N 平分 N A O C,(1)求N M 0 N 的度数;(2)若N A 0 B=a 其他条件不变，求N M 0 N 的度数；（3）若N A O C=B （B为锐角）其他条件不变，求/M O N 的度数;（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求N M O N,即求/C O M-N C O N,再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均 根 据（1）的计算方法进行推导即可.（4）根 据（2）和（3）中的结论进行总结.【答案与解析】解：（1）V Z A 0 B=9 0 ,Z A 0 C=3 0 ,Z B 0 C=1 2 0.0 M 平分N B O C,O N 平分N A O CA Z C 0 M=6 0 ,N C O N=1 5 Z M0 N=Z C 0 M-Z C O N=4 5 .（2）Z A 0 B=a ,Z A 0 C=3 0 ,.Z B 0 C=a +3 0：0 M 平分N B O C,O N 平分/A O CA Z C 0 M=2 L+1 5 ,Z C O N=1 5 2Z M0 N=Z C 0 M-Z C O N=-.2（3）V Z A 0 B=9 0 ,Z A 0 C=P ,.Z B 0 C=9 0 +6Y O M 平分N B O C,O N 平分N A O C.,.Z C 0 M=4 5 +巨，Z C O N=_ L.2 2Z M0 N=Z C 0 M-Z C 0 N=4 5 .（4）从上面的结果中，发现：Z M 0 N 的大小只和N A O B 得大小有关，与/A O C 的大小无关.【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系.举一反三：【变式】如图，N A O B 的平分线O M,O N 为N M 0 A 内的一条射线，0 G 为N A O B 外的一条射线。

某同学经过认真分析，得到一个关系式是N MO N=L （Z B 0 N-Z A 0 N）,你认为这个同学得到2的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来答案】解：正确，理由如下：,?Z A O B 的平分线0 M,Z A O M=Z MO B又：Z MO N=Z A O M-Z A O N=Z MO B-Z A O N=(Z B O N-Z MO N)-Z A O N即有N MO N=N B O N-Z MO N -Z A O N2 Z M0 N=Z B 0 N-Z A 0 N；.N MO N=L (Z B O N-Z A O N)2类型二、余角与补角4.已知点0是直线A B 上的一点，N C O E=9 0 ,O F 是N A O E 的平分线.(1)当点C、E、F在直线A B 的同侧(如图所示)时.试说明N B O E=2/C O F；(2)当点C与点E、F 在直线A 。